2. júna 2020
Pytagorova veta

Pytagorejci

V šiestom storočí pred n.l. sa vo Veľkom Grécku [1] objavil nový filozofický smer, založený na učení matematika a filozofa Pytagora. Aj keď sa začalo skromne, toto „hnutie“ v konečnom dôsledku do veľkej miery ovplyvnilo, skrz práce Platóna a Aristotela, vývoj celej západnej civilizácie.

Pytagorejci boli zaujímaví z viacerých dôvodov. Napríklad, do svojich radov prijímali aj ženy, boli vegetariáni [2] a nejedli fazuľu [3]. Tvrdili tiež, že duša je nesmrteľná a po smrti ju čaká prevtelenie. Človek by sa mal snažiť za života správať cnostne a dôkladnými očistami dosiahnuť, aby sa v ďalšom živote nenarodil do ľudského tela, ale miesto toho sa dostal do spoločnosti bohov. Dôvod, prečo ich tu spomíname, je však trochu odlišný.

Pytagorejci totiž verili, že celý svet sa skladá z čísel. Čo to presne znamená a čo ich k takému záveru priviedlo? Predovšetkým treba povedať, že pytagorejci pod “číslami” rozumeli iba prirodzené čísla (1, 2, 3, …) a ich podiely, čiže zlomky resp. racionálne čísla. O tom, že prirodzené čísla hrajú v živote významnú rolu (vidím dve kravy, majú dokopy osem nôh a čtyri oči, …) snáď nie je pochýb. Nakoľko človek často musí veci rozdeľovať, zlomky tiež predstavovali intuitívne rozšírenie prirodzených čísel. Napríklad, počet žiakov v triede predstavuje 3/4 počtu žiakov vyššieho ročníka.

Skutočným prelomom však bolo nájdenie hlbokého súvisu medzi matematikou a hudbou. Konkrétne, pytagorejci prišli na to, že brnkanie na skupinu strún znie ľudskému uchu lahodne vtedy ak sú pomery dĺžok strún pomermi malých prirodzených čísel. Toto nečakané zistenie potom pomerne prirodzene viedlo k hypotéze, že „čísla sú naozaj za všetkým,“ pričom ale nezabúdajme, že pod číslami pytagorejci rozumeli výlučne iba racionálne čísla.

Práve preto prišlo ako veľký šok zistenie, že nie všetky bežne sa vyskytujúce čísla sú racionálne. Podľa jednej z tradícií na to prišiel jeden z pytagorejcov, Hippasus, a za toto narušenie filozofie ho pytagorejci následne utopili. O čo sa jedná? Hippasus objavil, že ak si narysujeme obyčajný štvorec, tak pomer dĺžky jeho uhlopriečky a strany nebude racionálne číslo, t.j. nebude sa dať napísať ako pomer dvoch prirodzených čísel. [4]

Pomocou Pytagorovej vety [5] ľahko spočítame, že pomer uhlopriečky a strany štvorca je rovný odmocnine z 2. Odmocnina z 2 je preto príkladom tzv. iracionálneho čísla. Súčasného čitateľa, zvyknutého na modernú matematiku, toto tvrdenie nevyvedie z miery, avšak pre Pytagorejskú filozofiu to predstavovalo veľmi tvrdú ranu. Matematika má niekedy veľmi priamy dosah na ľudské životy!

[Frico]

Úloha na dnes: Poznáte nejaký (negeometrický) dôkaz tohoto faktu? Viete ho zovšeobecniť na tretiu odmocninu z 2?
Úloha pre tých, čo radi skúšajú nové veci: skúste dokázať iracionalitu tretej odmocniny z 2 za pomoci Veľkej Fermatovej vety. (Jej použitie je samozrejme strašný overkill, nakoľko VFV sa dokázala iba pred pár rokmi.)

Zdroje:
https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagoreanism
Geometrický dôkaz: https://www.jstor.org/stable/2695741

[1] Ide o oblasť na juhu dnešného Talianska, ktorá bola v staroveku obývaná osadníkmi z Grécka.

[2] Hlásali, že zvieratá majú dušu, sú racionálne a cítia bolesť. Predovšetkým by ale podľa ich filozofie človek nemal spôsobovať bolesť, ak sa tomu môže vyhnúť. Nakoľko vedeli, že ľudia prežijú aj bez konzumácie mäsa, ich vegetariánstvo bolo prirodzeným dôsledkom týchto úvah.

[3] O dôvode tohto ich konania sa toho veľa nevie.

[4] Existuje pekný geometrický dôkaz tohoto faktu: Zabudnime na hornú a ľavú stranu štvorca – zvyšné 2 strany a uhlopriečka nám tak dajú pravouhlý rovnoramenný trojuholník. Predpokladajme teraz, že pomer prepony (t.j. ulopriečky) a odvesny (strany štvorca) je racionálny. V takom prípade môžeme náš trojuholník vhodne zväčšiť, prípadne zmenšiť tak, aby sme dostali rovnoramenný pravouhlý trojuholník, ktorého *všetky strany majú celočíselné dĺžky*. Vezmime si teda teraz najmenší taký možný trojuholník (rovnoramenný pravouhlý celočíselný) – to je náš čierny trojuholník na obrázku. Za použitia kružidla si na prepone vyznačíme uvedený bod a narysujeme z neho kolmicu. Dostaneme tak nový (žltý) trojuholník, ktorý je pravouhlý, rovnoramenný a ktorý má všetky strany celočíselných dĺžok (o tomto sa prípadne skúste presvedčiť). Keďže však žltý trojuholník je menší ako čierny, sme v spore s tvrdením, že čierny trojuholník bol najmenší s uvedenými vlastnosťami. Náš predpoklad o racionalite teda neplatí! Howgh! (Povšimnime si tiež, že pri tomto geometrickom dôkaze sme nikde priamo nestretli žiadne čísla – toto je typický spôsob uvažovania starých gréckych matematikov.)

[5] Ten istý Pytagoras!

Pomôcka. (Pridávam na vyslovenú žiadosť autora.)
Pomôcka. (Pridávam na vyslovenú žiadosť autora.)

Pridaj komentár