4. júla 2020
Čísla

Čísla, ktoré naprávajú kosti (a bonusová hádanka)

V poslednej dobe sme tu písali o všelijakých číslach – prirodzených, celých, reálnych či komplexných. Bolo by však nespravodlivé nespomenúť niektoré iné zaujímavé triedy čísel, ktoré sa vyskytujú pri riešení mnohých problémov.

Jedným z nich sú takzvané algebraické čísla. [1] Ide o akési rozšírenie čísel racionálnych – okrem zlomkov medzi algebraické čísla patria aj iní známi číselní protagonisti, napríklad odmocnina z 2 či 3. Všeobecne, číslo voláme algebraické ak je riešením nejakej mnohočlenovej rovnice s celými koeficientami, t.j. napríklad rovnice 7x⁵ + 3x² – 5 = 0.

Prečo nás takéto čísla zaujímajú? Vyskytujú sa totiž pri štúdiu viacerých matematických problémov. Typickým príkladom sú takzvané diofantovské rovnice, ktoré sa študujú už od čias starovekého Grécka a sú pomenované podľa matematika Diofanta z Alexandrie. Ide o naoko jednoduché rovnice typu x² + 3yz – z² = 5, pričom nás zaujímajú iba celočíselné riešenia. Môže to pôsobiť jednoducho – veď celé čísla sú predsa „jednoduchšie“ ako reálne! Je dobré si však uvedomiť, že napríklad Veľká Fermatova veta, ktorej dôkaz sa oficiálne našiel až po takmer 400 rokoch, nehovorí nič iné ako to, že niektoré konkrétne diofantovské rovnice majú iba nulové riešenie. [2]

Francúzsky matematik Pierre de Fermat, ktorý súvisí s Veľkou Fermatovou vetou

Koľko je takýchto čísel? Dá sa poľahky ukázať, že algebraických čísel je len toľko ako čísel prirodzených. [3] Z toho vyplýva, keďže reálnych alebo komplexných čísel je viac ako prirodzených, že existuje mnoho reálnych (alebo komplexných) čísel, ktoré nie sú algebraické – takéto čísla voláme transcendentné.

Napriek tomu, že transcendentných čísel je „omnoho“ viac ako algebraických, je pomerne ťažké zistiť, či je dané číslo také alebo onaké. Typickým príkladom transcendentných čísel sú známi extroverti ako pí alebo Eulerovo číslo. Dodnes ale napríklad nevieme, či súčet alebo rozdiel týchto dvoch čisel je transcendentný alebo nie. Predpokladá sa, že áno. Nakoniec, aby sme mali aj nejakú pastvu pre oči, je treba povedať, že algebraické čísla sa dajú aj pekne vizualizovať: (je to v komplexnej rovine, ale je tam samozrejme vyznačená len istá časť)

obrázok vytvoril Stephen J. Brooks

Ak sa náhodou počas týchto korona-časov nudíte, môžete skúsiť vyriešiť nasledovné úlohy.

Historická úloha na dnes: Keď už spomíname Diofanta, iný grécky matematik Metrodóros nám zanechal o ňom matematickú hádanku, nazývanú často Diofantovým epitafom. Ide o môj preklad z angličtiny, buďte zhovievaví!

„Tu leží Diofantos.“ Hľa, aký div!
Kameň nám číslami prezradí ako dlho bol živ’:
„Na celú šestinu života chlapcom sa stal,
potom jednu dvanástinu bradou zarastal.
Pridaj ešte sedminu, kým ženu si vzal,
k čomu im Boh po piatich rokoch syna daroval.
Lenže! Dieťa len polovicu dĺžky života
svojho otca dosiahlo, kým si poň prišla zubatá.
Po štyri roky sa ten k vede čísel utiekal,
až kým svoj život nedokončil.“

Akého veku sa teda Diofantos dožil?

Pokročilejšie úlohy pre záujemcov:

  • Koľko riešení má diofantovská rovnica x² + y² = z²?
  • Ukážte, že Eulerovo číslo je iracionálne. (Nápoveda: choďte na to sporom a využite fakt, že toto číslo možno napísať ako 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + …)
[Frico]

P.S. Pre tých, ktorých by nebodaj zaujímalo, čo majú tieto čísla spoločné s kosťami: slovo algebra, pochádzajúce z arabského al-džabr, má význam obnovenia (zlomených častí), používalo sa však (i v Európe) aj vo význame naprávania kostí. (Zdroj: wiki)

Zdroj: wiki (Diophantus), https://www.famousscientists.org/diophantus/

[1] Matematici algebraické čísla zvyčajne značia ako nadčiarknuté ℚ.
[2] Ide o rovnice tvaru

xⁿ + yⁿ = zⁿ

kde n je nejaké konkrétne celé číslo väčšie než 2.
[3] Pamätajme, že toto nie je v spore s faktom, že algebraické čísla obsahujú všetky prirodzené čísla i mnoho ďalších.

Pridaj komentár