27. októbra 2020
Mileniove problemy

Miléniové problémy: opäť raz o Riemannovej hypotéze

Na prelome tisícročí vybral za pomoci odborníkov Clayov matematický inštitút sedem významných otvorených problémov a za vyriešenie ľubovoľného z nich ponúkol odmenu milión dolárov. Nebolo to však prvýkrát keď niekto zozbieral dôležité otvorené problémy svojej doby. Jeden taký zoznam vypracoval v roku 1900 David Hilbert, jeden z najvýznamnejších matematikov 19. a 20. storočia, ak nie dokonca všetkých čias. Hilbertove problémy, dokopy ich bolo 23, motivovali obrovské množstvo matematického výskumu v 20. storočí a priniesli mnohé revolučné objavy. Väčšinu z týchto problémov sa už podarilo vyriešiť (aspoň čiastočne), avšak zopár z nich je ešte stále otvorených. Nuž a jeden z nich sa na prelome ďalšieho storočia dostal i medzi naše Miléniové problémy. Ide o Riemannovu hypotézu.

Hilbert s klobúkom.
Hilbert s klobúkom.

Už sme o nej párkrát vo Vedátorovi hovorili, naposledy tu. Samotné znenie tejto hypotézy nie je síce na prvý pohľad až také „šťavnaté“, zdanie tu však riadne klame. Ide o veľmi ťažký problém, ktorého rozriešenie by vnieslo veľa svetla na jedny zo základných stavebných kameňov čísel – na prvočísla.

Matematika, rovnako ako každá iná disciplína, má mnoho rôznych odvetví, a samozrejme nemožno objektívne hovoriť o tom, že by niektoré z nich boli zaujímavejšie/lepšie/hlbšie ako iné. Napriek tomu sa veľa matematikov zhodne v tom, že teória čísel – odvetvie zaoberajúce sa napríklad i štúdiom prvočísel – patrí medzi tie najkrajšie. Hovorí sa, že napríklad velikán (matematiky i vedy všeobecne) Carl Friedrich Gauss povedal:

Matematika je kráľovná vied a teória čísel je kráľovná matematiky.

Problémy a otázky v teórii čísel sú častokrát veľmi jednoducho znejúce – koniec koncov týkajú sa čísel, ktoré stretáme v živote na každom kroku. Napriek tomu sú však dôkazy týchto tvrdení nezriedka extrémne komplikované a vedú k veľmi hlbokým a fascinujúcim teóriám. Príkladom takéhoto tvrdenia je slávna Veľká Fermatova veta [1] či Goldbachova hypotéza [2].

Gauss s čiapkou.

Vráťme sa však späť k Riemannovej hypotéze. Jej úspešný dôkaz by bol zároveň aj dôkazom mnohých iných tvrdení, ktoré z nej priamo alebo nepriamo vyplývajú; niektoré z nich sú Riemannovej hypotéze dokonca ekvivalentné. Mnohé z nich sú pritom oveľa jednoduchšie znejúce a tak by som rád spomenul aspoň jeden z nich.

Vezmime si pre začiatok ľubovoľné (celé kladné) číslo N, pre ilustráciu napríklad 28. Teraz si napíšme zoznam čísel, ktorými môžeme naše číslo vydeliť. V prípade 28 tak dostaneme čísla 1, 2, 4, 7, 14 a 28. Nakoniec všetky tieto čísla sčítajme a výsledok nazvime σ(N). V našom prípade máme

σ(28) = 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 56

A teraz trošku náročnejší krok – vezmeme si (prirodzený) logaritmus z (prirodzeného) logaritmu nášho čísla N. Výsledok vynásobíme opäť číslom N a na záver ešte „prikoreníme“ – vynásobíme výsledok istým konkrétnym číslom, známym ako eᵞ. (Toto číslo má hodnotu 1,78107241799…, číslo γ je známe pod menom Eulerova-Mascheroniho konštanta.) Proste a skrátka, musíme zrátať výraz

eᵞ N ln(ln(N))

V prípade našej dvadsaťosmičky dostaneme výsledok 60,025… Všimnime si, že tento výsledok je väčší ako horeuvedený súčet všetkých deliteľov 28-čky, čiže číslo σ(28) = 56. Možno to zatiaľ neznie veľmi prelomovo ani zaujímavo. V roku 1984 však matematik Guy Robin ukázal, že Riemannova hypotéza je ekvivalentná tvrdeniu, že pre každé číslo N väčšie než 5040 platí (rovnako ako pre 28), že:

σ(N) < eᵞ N ln(ln(N))

Týmto podľa mňa celkom zaujímavým tvrdením by som náš cyklus o Miléniových problémoch uzatvoril [3].

[Frico]

Zdroj: wiki (Millennium Prize Problems, Hilbert’s problems, David Hilbert, Riemann hypothesis, Robin’s theorem), pre záujemcov odporúčam tiež https://golem.ph.utexas.edu/category/2019/07/the_riemann_hypothesis_says_50.html

[1] Veľká Fermatova veta vraví, že nie je možné postaviť z malých kocôčok takú väčšiu kocku, ktorú by sme vedeli rozložiť na dve menšie (a neostala nám žiadna kocôčka nazvyš), a že rovnaký trik sa nám nepodarí ani s viacrozmernými kockami. Jednoduché, no nie? V skutočnosti sme dôkaz tejto vety spoznali až po 358 rokoch!

[2] Goldbachova hypotéza vraví, že každé párne číslo väčšie než 2 sa dá napísať ako súčet dvoch prvočísel. Je dodnes nedokázaná, resp. nevyvrátená.

[3] Články o jednotlivých Miléniových problémoch nájdete na vedator.space/tag/mileniove-problemy

Pridaj komentár