20. septembra 2020
Mileniove problemy

Miléniové problémy: Hodgeova domnienka

Jednou zo šiestich otvorených Miléniových úloh, za ktorých úspešné vyriešenie vyplatí Clayov matematický inštitút odmenu milión dolárov, je takzvaná Hodgeova domnienka. Často sa o nej hovorí, že je z uvedených problémov najťažšia na vysvetlenie — to nás však samozrejme v písaní tohoto príspevku nezastaví 🙂 o to viac, keď pri tom môžeme použiť pekné obrázky. Hor sa teda do toho!

V matematike ľudia často študujú rôzne „priestory“ — ako príklad nám poslúžia veci známe z každodenného života: náš trojrozmerný priestor, povrch lopty, kružnicu, bod, povrch donutu (deravej šišky), priamku, či šesťrozmernú Calabi-Yau kvintiku.

Dvojrozmerný prierez jednou zo šesťrozmerných Calabi-Yau kvantických variet (inak povedané pekný príklad zapleteného priestoru). Zdroj: wiki

Štúdium takýchto priestorov je často dosť ťažké. Niekto vám napríklad popíše dva priestory, každý z nich zadaný sadou nejakých rovníc, a spýta sa, či sú tieto dva priestory rovnaké. Ako takýto problém rozlúsknuť? Matematici prišli s elegantným nápadom – takzvanými invariantmi. Ide o to, že danému priestoru vieme často priradiť nejaký iný a jednoduchší objekt. Takýmto objektom môže byť napríklad nejaké číslo, napríklad počet rozmerov daného priestoru alebo počet samopriesekov. Ak sú tieto dva objekty (čísla) rôzne, vyplýva z toho, že pôvodné dva priestory boli rôzne. [1] Takéto užitočné objekty nazývame invarianty.

Ďalší cool obrázok s Calabi-Yau varietou 🙂 Zdroj: wiki

Niektoré priestory sú krajšie ako iné. Medzi tie najkrajšie patria isté čudá, ktoré prezývame nesingulárne komplexné projektívne variety. [2] Pre zjednodušenie ich ďalej volajme iba čudá. Patria sem napríklad horeuvedené dva obrázky, ale napríklad aj taký obyčajný povrch lopty. Na popis čúd sa používajú niektoré veľmi špeciálne invarianty. Jeden z týchto invariantov sa napríklad nazýva Hodgeov diamant. Ide o znôšku čísel, ktoré sa zvyčajne zapisujú do tvaru akéhosi kosoštvorca/diamantu. Tieto čísla v sebe skrývajú informáciu o tom ako dané čudo vyzerá, koľko má „dier“ a „úch“, ako veľmi je zamotané. Hodgeove diamanty vyzerajú napríklad takto:

Hodgeove diamanty pre prípad troch priestorov. Zľava doprava ide o jednu z Calabi-Yau variet v 6D, tzv. K3 povrch (4D) a eliptickú krivku (2D).
Zdroj: wiki (Homological mirror symmetry)

To čo nás však v tejto chvíli pri tomto klenotníckom špeciáli zaujíma sú iba čísla napísané na strednej zvislej osi. Tieto čísla súvisia s takzvanými Hodgeovými triedami [3]. Namiesto vysvetľovania, čo sú presne tieto triedy zač, si teraz iba zapamätajme, že ide o objekty, ktoré prirodzene „žijú“ na každom čude. Teraz sa už dostávame k jadru Hodgeovej domnienky.

Podobne ako vo vode nájdeme podvodné tvory, tak i v priestoroch nájdeme podpriestory a v čudách nájdeme podčudá (alias komplexné projektívne podvariety). Napríklad rovník je podpriestorom na povrchu Zeme, prípadne horizontálna os je podpriestorom v rovine. Čo je však pre nás dôležité: v prípade čúd vieme každému podčudu priradiť istú konkrétnu Hodgeovu triedu (žijúcu v tom príslušnom čude).

Hodgeova domnienka jednoducho vraví, že každá Hodgeova trieda sa dá napísať ako súčet takých Hodgeových tried, ktoré zodpovedajú nejakým podčudám.

Skrátka, Hodgeova domnienka hovorí o tom, ako na nesingulárnej projektívnej komplexnej variete (čude) spolu súvisia podvariety (podčudá) a algebraická topológia (zamotanosť, zakrútenosť) danej variety (čuda). Dôkaz alebo vyvrátenie tejto domnienky by predstavovalo veľký posun v našom porozumení komplexnej geometrii.

[Frico]

Zdroj: wiki (Hodge conjecture)

[1] Z toho, že dva priestory dajú rovnaké číslo, však nemožno usúdiť, že sú nevyhnutne rovnaké. Napríklad rovina i povrch lopty sú obe dvojrozmerné, nejde však o ten istý priestor.
[2] Ide o priestory, ktoré sú zadané sadou komplexných polynomiálnych rovníc. Pre predstavu: mnohí si možno zo školy pamätajú, že 2D sféra (povrch lopty) je popísaná vzťahom x² + y² + z² = 1. V prípade sféry teda ide o jednu reálnu polynomiálnu rovnicu. Komplexné projektívne variety sú veľmi podobné, akurát povolíme rôzne exponenty, väčšie množstvá rovníc a miesto reálnych čísel vezmeme čísla komplexné.
[3] Tuto mierne „klamem“, lebo ten súvis je dosť nepriamy: Čísla v strede Hodgeovho diamantu hovoria o tom, koľko rozmerov má takzvaná kohomologická grupa typu (k,k). Hodgeove triedy tvoria len istú časť tejto grupy, takže s tými číslami zas až tak nesúvisia. Nuž ale nejako som sa k nim musel dostať 🙂 (navyše som chcel spomenúť diamanty). Snáď mi dobromyseľný čitateľ tento „naratívny skok“ odpustí 🙂

Pridaj komentár