28. októbra 2020

Miléniové problémy: opäť raz o Riemannovej hypotéze

Na prelome tisícročí vybral za pomoci odborníkov Clayov matematický inštitút sedem významných otvorených problémov a za vyriešenie ľubovoľného z nich ponúkol odmenu milión dolárov. Nebolo to však prvýkrát keď niekto zozbieral dôležité otvorené problémy svojej doby. Jeden taký zoznam vypracoval v roku 1900 David Hilbert, jeden z najvýznamnejších matematikov 19. a 20. storočia, ak nie dokonca všetkých čias. Hilbertove problémy, dokopy ich bolo 23, motivovali obrovské množstvo matematického výskumu v 20. storočí a priniesli mnohé revolučné objavy. Väčšinu z týchto problémov sa už podarilo vyriešiť (aspoň čiastočne), avšak zopár z nich je ešte stále otvorených. Nuž a jeden z nich sa na prelome ďalšieho storočia dostal i medzi naše Miléniové problémy. Ide o Riemannovu hypotézu.

Miléniové problémy: tajomstvá kriviek

Blížime sa k záveru nášho cyklu o Miléniových problémoch. Ostávajú už iba dva — a obidva sa v nejakom zmysle týkajú čísel. Jeden z nich je Riemannova hypotéza, o ktorej sme už viackrát hovorili (a nabudúce si opäť niečo nové povieme). Ten druhý problém sa nazýva Birchova a Swinnerton-Dyerova hypotéza a elegantne v sebe kombinuje geometriu kriviek, racionálne čísla, riešenie rovníc a isté špeciálne funkcie. O čom presne hovorí?

Miléniové problémy: Hodgeova domnienka

Jednou zo šiestich otvorených Miléniových úloh, za ktorých úspešné vyriešenie vyplatí Clayov matematický inštitút odmenu milión dolárov, je takzvaná Hodgeova domnienka. Často sa o nej hovorí, že je z uvedených problémov najťažšia na vysvetlenie — to nás však samozrejme v písaní tohoto príspevku nezastaví 🙂 o to viac, keď pri tom môžeme použiť pekné obrázky. Hor sa teda do toho!

Problémy tisícročia: je ľahšie Sudoku vyriešiť alebo overiť správnosť riešenia?

Jeden zo šiestich problémov, za ktorých vyriešenie ponúka Clayov matematický inštitút odmenu milión dolárov, je takzvaný P verzus NP problém. Ak zanedbáme niektoré podstatné technikality, jeho zadanie je prekvapivo jednoduché: Úlohou je rozhodnúť, či sa problémy, ktorých riešenie vieme jednoducho overiť, dajú aj jednoducho vyriešiť. Problémy, kde vieme riešenie jednoducho overiť, spadajú do triedy nazývanej NP. Problémy, ktoré vieme jednoducho vyriešiť, patria do triedy P. Otázka teda znie: platí P = NP?

Problémy tisícročia: tajomstvá kvapalín

V matematike je mnoho otvorených problémov, ktoré lákajú odvážnych dobrodruhov (t.j. matematikov) podobne ako kedysi mnohých ľudí lákali neznáme kraje a nezdolané hory. Nájdeme tu problémy jednoduché i zložité, elegantné i nezrozumiteľné, zábavné i vážne, nepodstatné aj dôležité. Z tej poslednej kategórie vybral na prelome milénií Clayov matematický inštitút sedmicu problémov a za vyriešenie ľubovoľného z nich prisľúbil odmenu milión dolárov. Jedným z týchto problémov je existencia a hladkosť riešení Navierových-Stokesových rovníc. O čo presne ide a prečo je to dôležité?

Problémy tisícročia: „lepidlové guličky“

Možno ste počuli o takzvaných „Problémoch tisícročia“. Ide o sedem dôležitých a náročných úloh v matematike, za vyriešenie ľubovoľného z nich ponúka Clayov matematický inštitút milión dolárov. Momentálne skóre je takéto: jeden vyriešený (Poincarého hypotéza) a šesť otvorených. Jedným zo zatiaľ nevyriešených problémov je takzvaná „Existencia Yangovej-Millsovej teórie a hmotnostná medzera“. O čo ide?