27. októbra 2020
Mileniove problemy

Miléniové problémy: tajomstvá kriviek


Blížime sa k záveru nášho cyklu o Miléniových problémoch. Ostávajú už iba dva – a obidva sa v nejakom zmysle týkajú čísel. Jeden z nich je Riemannova hypotéza, o ktorej sme už viackrát hovorili (a nabudúce si opäť niečo nové povieme). Ten druhý problém sa nazýva Birchova a Swinnerton-Dyerova hypotéza a elegantne v sebe kombinuje geometriu kriviek, racionálne čísla, riešenie rovníc a isté špeciálne funkcie. O čom presne hovorí?

Matematikov oddávna zaujímali rôzne typy kriviek. Poznáme ich mnoho rôznych typov: priamky, kružnice, elipsy, paraboly, hyperboly, rôzne špirály, sínusoidu, atď.

Príklad krivky: logaritmická špirála. Zdroj: wiki

Medzi najzaujímavejšie z nich patria takzvané eliptické krivky (pozor, nemýliť si ich s elipsami!). Aby sme si ukázali ako taká eliptická krivka vyzerá, predstavme si, že hľadáme dve čísla – nazvime ich x, y – ktoré spĺňajú nasledovnú rovnicu

y² = x³ – x + 1

Jedno riešenie dostaneme napríklad tak, že si vezmeme x = 1 a y = 1. Iné riešenie je napríklad x = 3, y = 5. Máme ale množstvo iných, trochu „škaredších“ riešení, napríklad x = 1,9042…, y = 2,4494… Ak si zakreslíme všetky možné riešenia do roviny, dostaneme nasledovnú zelenú krivku.

Naša krivka. Vyznačili sme na nej body x=1, y=1 a x=3, y=5.

Takýto obrázok predstavuje príklad eliptickej krivky. Vo všeobecnosti eliptická krivka zodpovedá riešeniam nejakej rovnice tvaru

y² = x³ + ax + b

kde a, b sú ľubovoľné čísla. Napríklad naša krivka zodpovedá voľbe a = -1 a b = 1. Ak si zvolíme iné čísla a, b, dostaneme rôzne iné tvary, napríklad:

Príklady eliptických kriviek. V posledom prípade sa síce krivka rozdelila na dve časti, stále však hovoríme o jednej krivke.

Predstavme si, že skúmame nejaké takéto zelené čudo. Zaujímavá otázka, ktorú si môžeme položiť je nasledovná: Existuje nejaký bod na krivke, ktorého obe súradnice sú racionálne čísla? (Racionálne čísla sú čísla, ktoré vieme zapísať ako podiel dvoch celých čísel, napríklad 3/7 alebo 1/2. Špeciálne platí, že každé celé číslo je racionálne – napríklad 8 môžeme zapísať ako 8/1). [1] Takéto body nazvime racionálne body.

A teraz jedno pekné pozorovanie. Eliptické krivky majú totiž jednu zvláštnu vlastnosť – body na nich vieme „sčitovať“. Inak povedané, existuje spôsob ako ľubovoľným dvom bodom na krivke priradiť bod tretí – podobne ako keď sčítaním dvoch čísel získame tretie. Recept je takýto:

  1. Vezmime si dva body.
  2. Nakreslime si priamku, ktorá prechádza týmito dvoma bodmi.
  3. Nájdime bod, v ktorom naša priamka pretína našu eliptickú krivku.
  4. Vezmime si zrkadlový obraz tohoto bodu voči vodorovnej osi (t.j. preklopíme bod cez vodorovnú os x). Hotovo!

Už len skutočnosť, že to funguje, predstavuje malý zázrak. Je za tým schovaná vlastnosť eliptických kriviek, ktorá nám zaručí, že priamka prechádzajúca našimi dvoma bodmi pretne krivku vždy práve raz. Toto sčitovanie bodov má však ešte jednu zaujímavú vlastnosť. Ak sčítame dva racionálne body, výsledok bude opäť racionálny! (Čiže bude mať racionálne/zlomkové súradnice.) Pekne to vieme ilustrovať na príklade našej prvej eliptickej krivky.

Sčítaním bodov so súradnicami 0, -1 a 1, 1 dostaneme bod so súradnicami 3, -5

Vezmime si teda dva racionálne body a sčítajme ich. Dostaneme opäť nejaký racionálny bod, ktorý môžeme zase sčítať s jedným z tých dvoch pôvodných bodov – získame tak ďalší racionálny bod. Ten môžeme opäť sčítať s jedným z pôvodných, a tak ďalej. Môžeme takýmto spôsobom dostať nekonečne veľa racionálnych bodov na našej eliptickej krivke? Niekedy áno a niekedy nie – pri niektorých krivkách môžeme totiž po viacnásobnom sčítaní dostať opäť jeden z našich pôvodných bodov a môžeme sa akosi „zacykliť“. Nuž a presne tejto otázky sa dotýka Birchova a Swinnerton-Dyerova domnienka (resp. jej časť).

Jedno z tvrdení tejto domnienky totiž hovorí, že na danej eliptickej krivke existuje nekonečne veľa racionálnych bodov práve vtedy, ak istá špeciálna funkcia (takzvaná L-funkcia), ktorú vieme tejto krivke priradiť, má v bode 1 hodnotu 0. Úplné tvrdenie tejto domnienky je trochu komplikovanejšie, ale v podstate hovorí o tom, ako sú vlastnosti danej eliptickej krivky (ako napríklad počet racionálnych bodov) zakódované v jej príslušnej L-funkcii.

Aj keď nechcem zachádzať do detailov, poviem aspoň toľko, že samotná L-funkcia je veľmi zaujímavý objekt. Aby sme ju zostrojili, potrebujeme spočítať, koľko bodov naša krivka bude mať, ak si ju zakreslíme do akejsi „konečnej“ roviny. Pod „konečnou rovinou“ mám na mysli istý matematický vynález, ktorý je akousi obdobou obyčajnej roviny, až na to, že obsahuje iba konečne veľa bodov. O tom možno niekedy nabudúce – zatiaľ sa len pokochajme nasledovným porovnaním.

Takto vyzerá krivka y² = x³ – x keď si ju nakreslíme do obyčajnej roviny:

A takto vyzerá tá istá krivka, keď si ju zakreslíme do roviny „konečnej“ (o „veľkosti“ 5) [2]:

[Frico]

Zdroj: wiki (Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, Elliptic curve), https://www.claymath.org/millennium-problems/birch-and-swinnerton-dyer-conjecture, https://www.claymath.org/sites/default/files/birchswin.pdf

[1] Keďže súradnice bodu na krivke sú práve naši starí známi x, y, nájdenie takéhoto „racionálneho bodu“ zodpovedá nájdeniu racionálneho riešenia našej rovnice.
[2] Pre expertov: ide o to, že si miesto poľa reálnych čísel vezmeme konečné pole 𝔽₅. Taktiež pre expertov: sčitovanie bodov na eliptickej krivke spomínam preto, lebo presnejšie tvrdenie hypotézy znie: L-funkcia má v jednotke nulový bod toľkého stupňa, koľko je rank („veľkosť“) abelovskej grupy racionálnych bodov príslušnej krivky.

Pridaj komentár