20. septembra 2020

Miléniové problémy: kváka to ako sféra, čo je to?

Na prelome tisícročí vybral Clayov matematický inštitút na základe rozhodnutia odborníkov 7 dôležitých problémov a za vyriešenie ľubovoľného z nich ponúkol odmenu milión dolárov. Každé takéto vyriešenie by totiž predstavovalo obrovský posun v príslušnej oblasti matematiky. Napriek veľa pokusom a mravenčej práci matematikov však ostávajú takmer všetky tieto problémy stále otvorené. Všetky až na jeden. Nuž, dnes konečne nastal čas na to, aby sme si tento problém predstavili.

Volá sa Poincarého domnienka a jej úspešným (vy)riešiteľom je Griša Pereľman. [1] Možno ste o jeho príbehu už počuli: po úspešnom zdolaní problému Pereľman odmietol miliónovú odmenu, ba čo viac, odmietol aj Fieldsovu medailu ktorá mu za jeho prácu mala byť udelená [2]. O dôvode tohoto jeho konania sa už popísalo v médiách veľa a keďže ja ho osobne nepoznám, nebudem k tomu pridávať moje domnienky a dohady. Sústreďme sa preto radšej na problém samotný a zabudnime nachvíľu na ľudské starosti.

Poincarého domnienku vyslovil v roku 1904 francúzsky polyhistor Henri Poincaré [3]. Jej tvrdenie je relatívne jednoduché. Aby sme si ho priblížili, spomeňme si na známe príslovie:

Ak niečo vyzerá ako kačka, chodí ako kačka a kváka ako kačka, je to kačka.

Poincaré sa, zhruba povedané, spýtal nasledovnú otázku:

Ak niečo vyzerá ako sféra, chodí ako sféra a kváka ako sféra, je to sféra.

Povedzme si teraz trochu presnejšie, čo sa tým myslí. Najprv treba povedať, že matematici pod sférou rozumejú povrch gule. V prípade Poincarého domnienky však máme na mysli povrch takzvanej štvorrozmernej gule — takúto sféru potom voláme 3-sféra [4]. Predstaviť si to priamo je síce trochu ťažké, práca s takýmto objektom však nie je pre matematikov žiadna veľká prekážka. Môžeme si to skúsiť aj my, napríklad takto: Obyčajnú 2-sféru (povrch trojrozmernej gule) si vieme predstaviť tak, že si vezmeme dva disky a zlepíme ich spolu pozdĺž ich hraníc (pozri obrázok, postupuj sprava doľava: vezmeme si dva disky, vydujeme ich a zlepíme).

Ako lepením získať 2-sféru z dvoch diskov. Zdroj: https://www.quora.com/How-can-one-visualize-a-3-sphere

Idúc o rozmer nižšie, podobným spôsobom môžeme zostrojiť kružnicu (alias 1-sféru) tak, že si vezmeme dve čiarky (známe tiež ako 1-rozmerné disky) a zlepíme ich pozdĺž ich okrajov(ých bodov).

Ako lepením získať kružnicu (1-sféru). Zdroj: https://www.quora.com/How-can-one-visualize-a-3-sphere

Pri 3-sfére môžeme postupovať analogicky: vezmeme dve plné gule (čo v matematike zodpovedá trojrozmerným diskom) a skúsime ich zlepiť pozdĺž ich hraníc, čiže vlastne zidentifikujeme povrch jednej gule s povrchom druhej. Predstavte si to tak ako keby povrchy gulí zodpovedali akémusi teleportu. Kedykoľvek sa snažíte opustiť ľavú guľu, teleport vás prehodí do pravej gule a naopak (pozri obrázok). A máme 3-sféru!

Ako si predstaviť 3-sféru. Zdroj: https://www.quora.com/How-can-one-visualize-a-3-sphere

Všimnime si zaujímavú vlastnosť 3-sféry: na rozdiel od bežného trojrozmerného priestoru je akési „malá“, „konečná“. Inak povedané, ak by sme do nej chceli napustiť vodu, zmestilo by sa jej tam len konečne veľa. Priestory takéhoto typu voláme v matematike kompaktné. Tak, teraz už máme 3-sféru zmáknutú a dostali sme sa o krok bližšie k samotnej Poincarého domnienke. Jej (teraz už trochu presnejšie) znenie je:

Ak niečo vyzerá ako 3-sféra, chodí ako 3-sféra a kváka ako 3-sféra, je to 3-sféra.

Aby sme sa dostali k tomu chodeniu a kvákaniu, pozrime sa na to ako (pravdepodobne) na túto domnienku prišiel sám Poincaré. K tomu však musíme na chvíľu zablúdiť do ríše dvojrozmernej [5], teda medzi priestory, ktoré môžeme popísať dvoma súradnicami. Príkladom je naša známa 2-sféra (povrch pomaranča). Existujú ešte aj ďalšie podobné priestory? Áno, napríklad nasledovné povrchy:

Zľava doprava ide o takzvaný torus („kobliha“), dvojitý torus a trojitý torus — mohli by sme takto samozrejme pokračovať donekonečna a pridávať ďalšie a ďalšie diery. Majú takéto deravé priestory nejakú vlastnosť, ktorá ich odlišuje od sféry? Predstavme si, že sme dvojrozmerné bytosti, ktoré žijú na povrchu sféry a nevieme tento povrch opustiť. Teraz si predstavme, že sa vydáme na výlet a celou cestou za sebou ťaháme dlhé lano, ktorého začiatok sme si doma uviazali o nohu stoličky. Po skončení výletu sa potom vrátime domov k našej milovanej stoličke a uviažeme o ňu ten kúsok lana, čo nám zostal. Lano je teraz natiahnuté pozdĺž celej našej výletnej trasy a tvorí akúsi slučku, ktorá sa začína i končí pri stoličke. Teraz si položme otázku: vieme túto slučku stiahnuť? Máme pri tom dovolené opäť cestovať a lanom rôzne hýbať, nemôžeme ho však roztrhnúť a tiež nemôžeme pohnúť stoličkou. Odpoveď je: áno, môžeme. Pre ilustráciu si pozrime obrázok.

Sťahovanie slučky na sfére. Bodka zodpovedá stoličke a čierna slučka zodpovedá lanu. Zdroj: wiki

Predstavme si však, že namiesto sféry žijeme na toruse alebo dvojitom toruse, atď. V takom prípade si môžeme naplánovať dovolenku tak, že lanovú slučku, ktorú takto vytvoríme, nebude možno stiahnuť nijakým spôsobom. Napríklad ružová a červená trasa na nasledovnom obrázku nám dajú nestiahnuteľné slučky.

Nestiahnuteľné slučky na toruse. Zdroj: wiki

A teraz k pointe. Nie je ťažké ukázať, že každý kompaktný dvojrozmerný priestor vyzerá buď ako sféra alebo ako torus, dvojitý torus, atď. Vidíme teda, že sféra je jediný kompaktný dvojrozmerný priestor, na ktorom vieme stiahnuť ľubovoľnú slučku. Touto vlastnosťou vieme teda sféru odlíšiť od všetkých ostatných priestorov. V horeuvedenej metafore teda pod „kvákaním ako kačka“ máme na mysli to, že na dotyčnom priestore sú všetky slučky stiahnuteľné. Čiže: Ak 2D priestor kváka ako kačka (má všetky slučky stiahnuteľné), tak potom je to kačka (2-sféra). Poincaré toto dobre vedel.

Velikán Henri Poincaré

Vráťme sa však späť do inkriminovaných 3 rozmerov. Poincaré si bol tiež vedomý toho, že 3-sféra (spomeňme si na dve plné gule s teleportom) má rovnakú vlastnosť – všetky slučky sú na nej stiahnuteľné [6]. Nuž a čo hľadal, to hľadal, iný trojrozmerný priestor s touto vlastnosťou Poincaré nenašiel. To ho teda celkom prirodzene viedlo k svojej slávnej hypotéze, ktorú si konečne môžeme napísať nasledovne:

Ak na nejakom trojrozmernom kompaktnom priestore vieme stiahnuť ľubovoľnú slučku, potom je tento priestor 3-sféra.

Poincaré toto tvrdenie však nevedel dokázať — navyše predpokladal, že potrvá ešte dosť dlho kým sa tento problém rozlúskne. A mal pravdu — trvalo to celých 100 rokov. Naša dlhá cesta k dôkazu nám však priniesla nesmierne bohatstvo poznatkov a prehĺbila naše porozumenie štruktúry rozličných typov priestorov. Plní optimizmu tak dúfame, že podobné obohatenie nás čaká aj pri riešení iných (Miléniových) problémov.

Naša cesta k pochopeniu Poincarého domnienky je síce na konci, ak sa však čitateľ dostal až sem, predpokladáme, že mu nebude vadiť ešte pár poznámok na záver.

Poznámka 1: Na rozdiel od iných Miléniových problémov, ktoré sme tu rozoberali, máme teraz unikátnu príležitosť povedať si niečo aj o dôkaze tejto hypotézy. O dôkaze, ktorý dotiahol do konca Pereľman pred zhruba 15 rokmi. V skutočnosti si však iba povieme pár slov slov o nástroji, ktorý Pereľman použil. Ide o takzvaný Ricciho tok, aj keď by sme mohli radšej použiť termín Ricciho vývoj. Ide o to, že keď si vezmeme nejaký krivý priestor, môžeme ho nechať vyvíjať sa akýmsi presne definovaným spôsobom. Najlepšie si túto myšlienku predstavíme na nasledovnom obrázku, kde sú postupne (zhora nadol) zobrazené jednotlivé fázy tohoto vývoja:

Ricciho tok. Zdroj: wiki

Výhodou takéhoto vývoja je, že sa daný priestor zvyčajne postupne pekne „vyhladzuje“, až kým na konci nedospejeme k niečomu peknému, napríklad ku sfére. Bez zachádzania do detailov si len povedzme, že s nápadom použiť takýto tok na dôkaz Poincarého domnienky prišiel americký matematik Richard S. Hamilton. Problémom však je, že Ricciho tok má istú nepríjemnú vlastnosť, konkrétne niekedy vedie k „vybuchnutiu“ dotyčného priestoru. Hamilton preto navrhol metódu, ktorou by sa táto nepríjemná vlastnosť dala obísť, nebol však schopný svoj dôkaz doviesť do zdarného konca. K tomu potom dospel až ďalší génius v osobe Pereľmana.

Poznámka 2: Možno vám napadne celkom prirodzená otázka: Platí tvrdenie Poincarého domnienky aj vo vyšších rozmeroch, t.j. pre 4-sféry, 5-sféry a podobne? [7] V dvoch rozmeroch je to jednoduché — o tom sme si povedali hore. Dá sa teda očakávať, že keď ideme do vyšších rozmerov, problém začne byť stále ťažší a ťažší. No čuduj sa svete — je to presne naopak. Ukazuje sa, že vyššie rozmery sú paradoxne jednoduchšie ako tie nižšie. V roku 1960 dokázal americký matematik Stephen Smale túto „zovšeobecnenú Poincarého domnienku“ pre všetky n-sféry, kde n je väčšie než 6. Neskôr boli on a ďalší matematici schopní dokázať toto tvrdenie aj pre 6-sféru a 5-sféru. Sám Smale za túto prácu dostal Fieldsovu medailu. Prípad 4-sféry dlho unikal, ale v roku 1982 sa ho podarilo zdolať americkému matematikovi Michaelovi Freedmanovi. Jediný prípad, ktorý vtedy ešte stále odolával, bol prípad 3-sféry, na jeho vyriešenie si bolo treba počkať ešte vyše 20 rokov.

Carl Friedrich Gauss. V našej dnešnej rozprave sme ho nespomenuli, tak si sem dáme aspoň jeho portrét.

Poznámka 3: História má často všelijaké zákruty a teraz to nebolo ináč. Poincarého domnienke totiž predchádzala iná Poincarého domnienka, ktorú Poincaré sformuloval už v roku 1900. Tá znela, že na to, aby sme zistili, či je daný 3D priestor 3-sféra, stačí overiť istú inú vlastnosť – táto vlastnosť má poetické meno: nulovosť prvej homologickej grupy. Čo to presne znamená, si tu nebudeme rozoberať, povieme len toľko, že Poincaré v roku 1904 ukázal, že táto jeho skoršia domnienka je nesprávna. Ukázal to naozaj elegantným spôsobom: zostrojil priestor, ktorý mal (rovnako ako 3-sféra) nulovú prvú homologickú grupu (opäť nie je dôležité, čo to presne znamená), avšak na rozdiel od sféry sa v tomto novom priestore niektoré slučky nedali stiahnuť. Nulovosť prvej homologickej grupy nám teda nezaručí, že náš objekt je sféra! Túto poznámku som si neodpustil preto, lebo tento protipríklad, ktorý Poincarého našiel, má nádherný popis. Ide totiž o priestor všetkých možných vpísaní pravidelného dvadsaťstenu do 2-sféry [8]. Inak povedané, je to akýsi priestor, kde každý bod zodpovedá spôsobu, ktorým môže byť 20-sten vložený do sféry tak, aby sa jej jeho všetky vrcholy dotýkali [9].

Pravidelný dvadsaťsten. Zdroj: wiki
[Frico]

Zdroj: wiki (Poincaré conjecture, Generalized Poincaré conjecture, Grigori Perelman, Henri Poincaré, Simply connected space), http://www.claymath.org/millennium-problems/poincar%C3%A9-conjecture a tiež http://www.claymath.org/sites/default/files/poincare.pdf; za krásne obrázky vďačím https://www.quora.com/How-can-one-visualize-a-3-sphere, konkrétne odpovedi od Senia Sheydvasser.

[1] Jeho celé meno je Григорий Яковлевич Перельман – Grigorij Jakovlevič Pereľman, ale dotyčné články (lepšie povedané preprinty) napísal pod menom Grisha Perelman.
[2] Najprestížnejšie matematické ocenenie. Je to akýsi analóg Nobelovej ceny — teda bol by, ak by sa Nobelova cena udeľovala iba raz za 4 roky a iba ľuďom do 40 rokov.
[3] Vraj bol jedným z posledných ľudí, ktorí boli vo svojej dobe expertom v každej disciplíne. V matematike a fyzike je jeho práca skutočne monumentálna, preto ju radšej ani nebudeme rozoberať. K Poincarého domnienke dospel pri svojej práci na základoch odvetvia, ktoré sme neskôr nazvali topológiou.
[4] Voláme ju tak preto, lebo na jej zmapovanie potrebujeme 3 súradnice. Podobne na zmapovanie obyčajnej sféry (alias 2-sféry, alias povrchu Zeme) potrebujeme dve súradnice, napríklad zemepisnú šírku a dĺžku.
[5] Tí, ktorí poznajú knihu „Flatland: A Romance of Many Dimensions“, si môžu na tomto mieste predstaviť nejakú vtipnú narážku, ktorá im túto knihu pripomenie.
[6] Rozmyslenie si tohoto faktu predstavuje celkom pekné cvičenie.
[7] V skutočnosti je treba pri vyšších rozmeroch podmienku „všetky slučky sú stiahnuteľné“ nahradiť trochu silnejšou podmienkou, to však pre nás teraz nehrá žiadnu dôležitú rolu.
[8] Možno si zo školy pamätáte, ako sa do kružnice niekedy vpisoval trojuholník, prípadne šesťuholník. Toto je to isté, len v 3D
[9] Pre fajnšmekrov: Nestiahnuteľnú slučku dostaneme tak, že si vezmeme nejaký vpísaný 20-sten a pomaly ho budeme otáčať, až kým ho neotočíme o 72 stupňov — vtedy dostaneme taký istý 20-sten ako keď sme začali — vykonali sme preto uzavretú slučku v priestore všetkých vpísaných 20-stenov. Cool, nie? 🙂

Pridaj komentár