Je zlomkov viac ako prirodzených čísel?

Nedávno sme hovorili o nekonečne a ako príklad sme si uviedli množinu prirodzených čísel (1, 2, 3, …). Tvrdili sme však, že existujú aj „väčšie“ nekonečná, resp. väčšie množiny. Vieme nájsť nejaký jednoduchý príklad? Skúsme napríklad zaloviť medzi číslami.

Poznáme nejakú skupinu čísel, ktorá obsahuje všetky prirodzené čísla a ešte aj čosi navyše? [1] Naposledy sme napríklad skúmali celé čísla, t.j. čísla
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
Bohužiaľ sme vtedy veľmi rýchlo ukázali, že prirodzených a celých čísel je rovnaký počet. Musíme teda hľadať ďalej.

Teraz sa celkom prirodzene do našej pozornosti natískajú tzv. racionálne čísla, v bežnej reči známe tiež ako zlomky. Ide o čísla tvaru a/b, kde ‘a’ a ‘b’ sú nejaké celé čísla a ‘b’ nie je rovné nule. Čiže napríklad 1/2 (ľudovo volaná „polovica“), 1/3, 1/4, atď., ale aj 2/5, 87/9, -45/7. Navyše každé celé číslo je automaticky racionálne (napríklad číslo 7 môžeme rovnako dobre zapísať ako 7/1). [2] Tieto čísla už od pohľadu pôsobia dojmom, že ich je „akože fakt dosť, určite viac ako prirodzených čísel.“

Napríklad, prirodzené čísla sú na číselnej (reálnej) osi akosi nariedko. Keby bola číselná os diaľnica a vzdialenosť 1 by zodpovedala kilometru, tak by sme, idúc po nej, občas nejaké stretli, ale mali by sme medzi tým dosť dlhé hluché pauzy. Naopak, o racionálne čísla by sme neustále zakopávali. Ba čo viac, vždy by sme vedeli nájsť nejaké racionálne číslo ľubovoľne blízko k nám. [3] Možno práve preto príde ako šok informácia, že racionálnych čísel je v skutočnosti rovnako veľa ako čísel prirodzených.

Ako sa o tomto absurdnom tvrdení možno presvedčiť? Veľmi jednoducho. Najprv si predstavíme všetky možné (kladné) zlomky v jednoduchej tabuľke (pozrite priložený obrázok). Ak sa niektoré číslo objaví viackrát, napríklad 1/2 bude prítomné i v preoblečení ako 2/4, 3/6, atď., tak v takom prípade ponecháme toto číslo iba v jeho najjednoduchšej forme (napríklad 1/2) – zvyšné si zaznačíme červeným.
Teraz si spravíme akéhosi hada (kľukatá čiara na obrázku). Idúc prstom pozdĺž neho si napíšeme všetky čierne čísla, ktoré stretneme. Dostaneme tak rad
1 – 2 – 1/2 – 1/3 – 3 – 4 – 3/2 – 2/3 – 1/4 – 1/5 – 5 – 6 – 5/2 – 4/3 – …

A hľa! V našom rade budú postupne všetky racionálne čísla (lebo náš had prejde celú tabuľku). Ak si tento rad predstavíme zapísaný v jednom dlhočiznom riadku, môžeme si podeň napísať všetky prirodzené čísla. Dostaneme tak priradenie, ktoré každému prirodzenému číslu prisúdi kladné racionálne číslo (to, ktoré je napísané nad ním) a naopak. Podobne môžeme spárovať všetky záporné celé čísla so zápornými zlomkami. Inak povedané, racionálnych čísel je dokopy toľko isto ako celých čísel (kladných i záporných)! Nakoniec si ešte z minula spomeňme, že celých čísel je na oplátku toľko isto ako prirodzených. Konečne teda prichádzame k záveru, že racionálnych a prirodzených čísel je rovnako veľa. Howgh!

P.S. Pre množinu racionálnych čísel sa zaužívalo pekné označenie ℚ, pochádzajúce z talianskeho „quoziente“ (podiel).

[1] Treba však mať na pamäti, že toto nutne neznamená, že taká skupina čísel je väčšia ako prirodzené čísla!
[2] Povšimnime si tiež jemnú, ale dôležitú nuansu, menovite fakt, že napríklad 1/2 a 2/4 sú jedno a to isté číslo (predstavte si to napríklad na rozkrájanom koláči).
[3] Predstavme si, že stojíme na pozícii 6,342… Potom si môžeme povšimnúť, že postupnosť čísel 6 – 6,3 – 6,34 – 6,342 – atď. je k nám stále bližšie a bližšie. Navyše tieto čísla sú všetky racionálne, napríklad 6,34 si vieme napísať ako 634/100.