10. júla 2020
Nekonečná

O nekonečnách a väčších nekonečnách

Možno ste to už zažili. Deti vonku na pieskovisku prerušia svoju štandardnú pieskoviskovú aktivitu a začnú sa pretekať v tom, kto z nich pozná väčšie číslo. V závislosti od veku a stupňa vzdelania zúčastnených sa následne v konverzácii objavia čísla rôznej magnitúdy. Zvyčajne sa hra končí zásahom nejakého staršieho a skúsenejšieho harcovníka, ktorý zahlási: „Nekonečno.“ Je však hra pre ostatných hráčov naozaj prehratá? Ukazuje sa, že situácia s takýmito pojmami je prekvapivo zapeklitá.

Existujú totiž nekonečná rôznych veľkostí, t.j. vieme zostrojiť nekonečné množiny ktoré budú rôzne veľké. Typickým príkladom nekonečnej množiny je množina prirodzených čísel, obsahujúca čísla ako 0,1,2,3,4, atď. Pri hľadaní dačoho väčšieho je celkom prirodzené pozrieť sa na ostatné číselné obory. Čo také celé čísla? [1] Alebo racionálne čísla, teda ľudovo zvané zlomky? Tí, čo pozorne sledovali naše matematické okienko už vedia, že takýchto čísel je čo do počtu rovnako veľa ako čísel prirodzených. Nebudem vás však už napínať a prezradím vám, že netreba zúfať – stačí siahnuť po reálnych číslach.

Predstavte si ich ako jednotlivé body na číselnej osi, prípadne všetky možné vzdialenosti medzi dvoma predmetmi. [2] Okrem všemožných zlomkov, ako napríklad 1/2, 3/7, -89/17, tu nájdeme aj iné potvory, typickým predstaviteľom sú číslo pí alebo odmocnina z dvoch. [3] Ak chcete zapísať takéto reálne čísla, potrebujete nekonečne veľa desatinných čísiel! Pí sa 3.1415 … nikdy nekončí.

Ako vieme, že týchto čísel je viac ako čísel prirodzených? Vieme to vďaka Cantorovi a jeho „diagonálnemu argumentu“.

Predstavme si, že by reálnych čísel bolo toľko isto ako čísel 0,1,2,3,… Čo to presne znamená? Znamená to to, že si môžeme predstaviť akýsi veľmi veľmi veľmi veľký hárok papiera, na ktorý si napíšeme dva stĺpčeky čísel. V jednom stĺpčeku budeme mať všetky prirodzené čísla, čiže postupne 0,1,2,3,4,… a do toho druhého si zapíšeme postupne všetky reálne čísla. V takomto prípade dostaneme jednoznačné popárovanie medzi prirodzenými a reálnymi číslami.

Predstavme si teda, že sme takýto popísaný papier vytvorili a pre zjednodušenie uvažujme iba reálne čísla medzi nulou a jednotkou. Náš zoznam môže vyzerať napríklad takto:

0 0,123
1 0,33333333333…
2 0,31415926535…
3 0,27182818284…
4 0,10101010101…
5 0,12345678910…
6 0,00000094567…

Cantorov nápad spočíval v tom, že si farebne vyznačil čísla na „diagonále“, čiže prvé číslo za desatinnou čiarkou v prvom riadku, druhé číslo v druhom riadku, tretie v treťom a tak ďalej. V našom príklade tak dostaneme postupnosť 1348169…

Teraz urobíme v tomto výslednom čísle malú zmenu – postupne nahradíme všetky jeho cifry ciframi o jedno väčšími, jednotka prejde na dvojku, dvojka na trojku, atď. deviatku zase zmeníme na nulu. Dostaneme tak (v našom prípade) 2459270…

Nakoniec pred toto číslo strčíme nulu a desatinnú čiarku, dostanúc číslo medzi nulou a jednotkou
0,2459270…

Zahľadiac sa na našu tabuľku, uvedomíme si, že toto číslo sa v nej nevyskytuje! Ako si môžeme byť istí? Vďaka Cantorovej šikovnej konštrukcii totiž vieme, že číslo v n-tom riadku bude mať na n-tom mieste vo svojom desatinnom rozvoji inú cifru ako náš výsledok, čiže musí byť od nášho výsledku odlišné!

Dostali sme tak spor s tvrdením, že sme si do druhého stĺpca zapísali všetky reálne čísla. Z toho vyplýva, že náš predpoklad bol mylný – reálnych čísel je vskutku viac ako čísel prirodzených! Nekonečná teda naozaj prichádzajú v rôznych veľkostiach.

[Frico]

PS: Zaujímavá otázka je, či existuje množina, ktorá leží veľkosťou medzi prirodzenými a reálnymi číslami. Ešte zaujímavejšia je však odpoveď. Existencia alebo neexistencia takejto množiny sa totiž nedá dokázať. O tom možno niekedy v budúcnosti.

PS2: Množina reálnych čísel sa v matematike štandardne označuje ℝ.

[1] Medzi celé čísla patria 0,1,2,3,…, ale aj -1,-2,-3,…

[2] Táto druhá predstava je v skutočnosti správna iba ak žijeme v spojitom svete (a ohľadom toho nie je medzi vedcami konsenzus).

[3] O tom, že odmocnina z dvoch sa nedá napísať ako zlomok (a o tvrdom dopadeho tohoto faktu na staroveké spoločenstvo pytagorejcov) sme si povedali už minule. Iracionalita čísla pí je na druhú stranu oveľa tvrdším orieškom — napriek dlhej a úpornej snahe sa ju podarilo finálne dokázať len pred zhruba storočím.

One thought on “O nekonečnách a väčších nekonečnách

Pridaj komentár