14. augusta 2020
NSeqs

Problémy tisícročia: tajomstvá kvapalín

V matematike je mnoho otvorených problémov, ktoré lákajú odvážnych dobrodruhov (t.j. matematikov) podobne ako kedysi mnohých ľudí lákali neznáme kraje a nezdolané hory. Nájdeme tu problémy jednoduché i zložité, elegantné i nezrozumiteľné, zábavné i vážne, nepodstatné aj dôležité. Z tej poslednej kategórie vybral na prelome milénií Clayov matematický inštitút sedmicu problémov a za vyriešenie ľubovoľného z nich prisľúbil odmenu milión dolárov. Jedným z týchto problémov je existencia a hladkosť riešení Navierových-Stokesových rovníc. O čo presne ide a prečo je to dôležité?

Turbulentné prúdenie v kvapaline. Zdroj: wiki

Ide o popis správania kvapalín. Takzvané Navierove-Stokesove rovnice, ktoré pohyb kvapalín opisujú, boli už pred pár storočiami odvodené z pohybových zákonov, ktoré poznáme od Newtona [1]. Ak vieme, ako sa kvapalina v nejakom časovom okamihu pohybovala a aký mala v rôznych miestach tlak, vieme pomocou týchto rovníc určiť, aký pohyb a tlak v nej bude v nejakom čase v budúcnosti [2]. Ľahko sa to povie, ale takýto výpočet je v praxi veľmi komplikovaný a tak ho vykonávame takmer vždy iba prostredníctvom počítača. Samotné rovnice sú totiž pomerne zložité.

Navierove-Stokesove rovnice s krátkym popisom

V skutočnosti je situácia až taká zlá, že pri Navierových-Stokesových rovniciach nemáme vyjasnené ani niektoré najzákladnejšie otázky. Aby však bolo jasné, to nijako neznižuje zásluhy ani dôveryhodnosť týchto rovníc — používame ich už totiž veľmi dlho a vo veľkom na modelovanie všelijakých situácií a ich predpovede sa krásne zhodujú s realitou. Problém však predstavuje detailné pochopenie matematiky, ktorá sa za týmito rovnicami skrýva. Dnes nevieme napríklad ani povedať, či pre každý zadaný pohyb a tlak kvapaliny vedú Navierove-Stokesove rovnice k nejakému zmysluplnému riešeniu popisujúcemu vývoj kvapaliny v budúcnosti. Práve rozriešenie tejto dilemy je podstatou horeuvedeného miléniového problému existencie a hladkosti riešení [3].

Vír za lietadlom. Zdroj wiki.

Pochopenie Navierových-Stokesových rovníc je akýmsi prvým krokom k presnému porozumeniu toho, ako sa tekutiny ako voda a vzduch správajú. A javy spojené s tekutinami — napríklad turbulencie — sú nesmierne dôležité v každodennej technickej praxi — pri modelovaní počasia, štúdiu oceánskych prúdov, aerodynamiky lietadiel, krvného obehu či letu raketoplánov alebo navrhovaní kanalizácie.

[Frico]

P.S. Aký pokrok sme v otázke Navierových-Stokesových rovníc dosiahli?

  • V prípade dvoch (namiesto troch) priestorových rozmerov bola existencia a hladkosť riešení dokázaná. Problém je zopakovať tento postup v 3D.
  • Podobne bola dokázaná, tentokrát v 3 rozmeroch, existencia takzvaných „slabých“ riešení (ide o akési riešenia v zovšeobecnenom zmysle). Problém je teraz ukázať, že tieto slabé riešenia sú „hladké“ (rozumné).
  • Vieme, že ak by aj pri predpovedanom vývoji kvapaliny podľa týchto rovníc nastal nejaký problém, bol by to len problém, ktorý sa vyskytuje vo „veľmi maličkých“ oblastiach. Problém je ukázať, že tieto maličké oblasti sú v skutočnosti prázdne.
  • Taktiež vieme ukázať, že pri každej počiatočnej konfigurácii existuje nejaký konečný čas, počas ktorého pri vývoji nenastanú žiadne problémy. Problém je ukázať, že problémy nenastanú v ľubovoľne dlhom čase.
  • Je tiež známe, že vhodné riešenia určite existujú v prípade, keď sú počiatočné rýchlosti kvapaliny dostatočne malé. Problém nastáva ak uvažujeme ľubovoľné rýchlosti.

Zdroje: www.claymath.org/millennium-problems, www.claymath.org/sites/default/files/navierstokes.pdf a referencie uvedené vovnútri, wiki (Navier–Stokes existence and smoothness, Navier–Stokes equations, Claude-Louis Navier, Sir George Stokes)

[1] Pomenované sú po francúzskom mechanickom inžinierovi Claudeovi-Louisovi Navierovi a anglo-írskom fyzikovi a matematikovi sirovi Georgeovi Gabrielovi Stokesovi.
[2] Pre zjednodušenie sa v uvedenom miliónovom probléme uvažuje iba nestlačiteľná kvapalina. Plná verzia Navier-Stokesových rovníc nám totiž umožňuje uvažovať aj prípad stlačiteľných kvapalín, respektíve tekutín, ako napríklad vzduch.
[3] Presnejšie povedané, je treba ukázať, že pre každé (rozumné) zadané počiatočné podmienky majú v trojrozmernom priestore Navierove-Stokesove rovnice rozumné riešenie (popisujúce vývoj v ľubovoľnom neskoršom čase), prípadne je treba nájsť protipríklad.

Pridaj komentár