Prvočísla

Práca matematikov je zvyčajne veľmi abstraktná (a komplikovaná). Keď sa napríklad opýtate svojho obľúbeného kamaráta matematika, nad čím dnes premýšľal, pravdepodobne odvetí niečo v zmysle: „To sa ťažko vysvetľuje.“ (V horšom prípade vám odpovie, že nad: „Diferenciálnymi gradovanými symplektickými varietami*,“ alebo nejakou podobnou absurdne znejúcou pozoruhodnosťou.)

V matematike sú však aj mnohé problémy, na ktorých pochopenie nie je nutné žiadne pokročilé štúdium – klasickým príkladom sú problémy týkajúce sa prvočísel. Treba však povedať, že zatiaľ čo na ich pochopenie netreba veľa, na ich vyriešenie nestačia niekedy ani tí najšikovnejší matematici. Vskutku, veľká časť nevyriešených problémov v matematike sa týka práve prvočísel.

Čo sú vlastne prvočísla? Sú to akési stavebné kamene (alebo atómy) z ktorých sa skladajú ostatné čísla (pod číslami tu budeme rozumieť prirodzené čísla, t.j. 1,2,3, …).

Konkrétne, sú to také čísla, ktoré nie sú deliteľné žiadnym iným číslom okrem jednotky a samým sebou (platí dohoda, že jednotka sa medzi prvočísla nezaraďuje). Napríklad 2, 3, 5, 7, 11 alebo 527361772823 sú prvočísla; ale 4, 6, 8, 15, 51 alebo 527361772821 nie. Povedané ešte ináč, ak by vám niekto priniesol prvočíselný počet cukríkov, tak nezávisiac od toho, koľko vás v skupine je, si ich nebudete vedieť spravodlivo rozdeliť (okrem prípadu, ak je vás práve toľko ako cukríkov alebo ste sám).

Pre ilustráciu toho, aké môžu byť otázky o prvočíslach zapeklité (a zaujímavé), sa teraz spolu zamyslime nad nasledovnými dvoma „jednoduchými“ problémami:
A) Koľko prvočísel má tvar N × N – 1?
B) Koľko prvočísel má tvar N × N +1?
(N je tu hocaké prirodzené číslo, napríklad ak N = 3, potom N × N – 1 = 8 a N × N + 1 = 10.)

Prvá otázka je ľahko zodpovedateľná. Využijúc formulku N × N -1 = (N-1) × (N+1), o ktorej sa ľahko presvedčíte roznásobením výrazu na pravej strane, vidíme, že každé číslo tvaru N × N -1 je súčinom dvoch čísel N – 1 a N + 1. Jediná možnosť, ako by takéto niečo mohlo byť prvočíslom je, ak by tieto dva delitele boli 1 a to číslo samotné, z čoho dostávame N = 2 a naše hľadané prvočíslo je rovné 3 (a žiadne iné prvočíslo nedostaneme). Odpoveď na otázku A je teda: práve 1 prvočíslo.

Čo sa druhej otázky týka, odpoveď nepozná nikto – je to otvorený matematický problém. (Napríklad trik z predchádzajúcej úlohy sa tu použiť nedá.) Poznáme mnoho riešení, napríklad
1 × 1 + 1 = 3
2 × 2 + 1 = 5
4 × 4 + 1 = 17
nevieme ale, koľko ich je dokopy.

Vidíme teda, že aj jednoducho znejúce problémy môžu byť extrémne ťažké. Tiež sme v tejto chvíli pripravení na zoznámenie sa s niekoľkými zaujímavými otvorenými problémami. O tom ale až zanedlho.

[Fridrich]

* To nie je len taký náhodný príklad – nad týmto som dnes napríklad rozmýšľal ja.

– – –

Uvedený problém sa dá nájsť napríklad medzi tzv. Landauovými problémami https://en.wikipedia.org/wiki/Landau%27s_problems