23. septembra 2020
Prvočíselné dvojičky

Prvočísla, časť šiesta: Prvočíselné dvojičky

(Predošlý diel série o prvočíslach)

Už od čias starých Grékov vieme, že prvočísel je nekonečne mnoho. Inými sofistikovanými metódami (napríklad pohľadom) vieme, že keď sa pohybujeme k stále väčším a väčším číslam, prvočísel postupne ubúda, t.j. jednotlivé prvočísla sú od seba, zhruba povedané, stále ďalej a ďalej. Fráza „zhruba povedané“ značí, že nejde o presné pravidlo. Aj medzi veľkými číslami sa totiž z času načas objaví nejaký pár prvočísel, ktoré sú pri sebe tak blízko ako sa dá – ich rozdiel je presne 2. [1] Takýto pár potom voláme prvočíselné dvojičky.

Prvých niekoľko dvojičiek vyzerá takto:
3 a 5
5 a 7
11 a 13
17 a 19
29 a 31
41 a 43

Koľko existuje takýchto dvojičiek? To bohužiaľ nevieme, ale predpokladáme, že ich je nekonečne veľa.[2] Poloodborne povedané, prvočísla sú malé (niekedy veľké) potvory, ktoré sme zatiaľ neskrotili a preto mnohým ich vlastnostiam nerozumieme (alebo ich nevieme dokázať).

Domáca úloha

Aby sme ale nepôsobili pesimisticky, poďme sa pre zmenu zamyslieť nad jednoduchším problémom – koľko existuje prvočíselných trojičiek? Tie definujeme [3] ako tri za sebou idúce prvočísla, líšiace sa postupne vždy o 2. Otázka pre čitateľov je: Existujú také trojičky? Ak áno, koľko ich je? Viete to dokázať?

[Fridrich]

[1] Všetky prvočísla (okrem dvojky) sú nepárne, takže žiaden pár prvočísel nemôže ležať hneď vedľa seba – vždy medzi nimi musí byť aspoň jedno ďalšie číslo. Výnimkou (kvôli tomu, že dvojka je párna) je pár 2,3.
[2] Najväčší známy pár je 2996863034895 x 2^1290000 ± 1, kde symbol ^ označuje mocninu; tieto čísla majú obe po 388342 cifier (zdroj).
[3] Zvyčajne sa prvočíselnými trojičkami myslí niečo trochu iné, ale to pre nás teraz nie je dôležité.

Dvojičiek je požehnane, pravdepodobne nekonečne veľa (zdroj)
Video o prvočíselných dvojičkách

Pridaj komentár