4. decembra 2020
Co je to derivacia

Na čo je mi v živote derivácia a integrál

Minule sme si vysvetlili, na čo nám je logaritmus. Logaritmus dostáva pod kontrolu veľké a rýchlo rastúce čísla, preto je užitočný práve v časoch epidémie. Pozrime sa teraz na dva pojmy, ktoré sedia (nezaslúžene) na tróne neobľúbenej matematiky: derivácie a integrály.

Hneď v úvode musím povedať, že ide o jednoduché a intuitívne pojmy. Zlú povesť majú, podľa mňa, kvôli tomu, že na strednej škole bývajú posledným učivom. Mnoho ľudí sa k ním dostane až v čase, keď už nad matematikou mávli rukou. To si derivácie a integrály nezaslúžia.

Derivácia mi hovorí, ako rýchlo sa niečo mení. Ak mám, napríklad, ako veličinu celkový počet nakazených, tak derivácia tejto veličiny je úmerná počtu nových prípadov za posledný deň. Na Slovensku máme k dnešnému dátumu 426 nakazených, z toho včera pribudlo 26. Matematicky povedané: derivácia počtu nakazených (za deň) mala včera hodnotu 26. Aké jednoduché, nie? Ešte jeden jednoduchý príklad: rýchlosť je derivácia polohy podľa času. Derivácia je miera zmeny, hovorí nám, ako rýchlo sa niečo mení po drobných príspevkoch.

Integrál je vlastne to isté, len naopak – sčítaním malých príspevkov dostávam celok (znak integrálu je vlastne ‘dlhé s’ ako suma). Napríklad, ak poznám počty nakazených za jednotlivé dni, tak ich zintegrovaním – teda sčítaním – dostávam celkový počet nakazených za dané obdobie.

Derivácia mi hovorí, ako rýchlo sa veci menia po malých príspevkoch, integrál zas tieto príspevky sčítava dokopy. To nie je také zložité, nie?

Integrál ako suma malých príspevkov. Čím jemnejšie príspevky berieme – teda čím sú obdĺžniky užšie, tým presnejšie odpovedá ploche pod krivkou.
Integrál ako suma malých príspevkov. Čím jemnejšie príspevky berieme – teda čím sú obdĺžniky užšie, tým presnejšie odpovedá ploche pod krivkou. Derivácia v bode je zas úmerná rozdielu výšky dvoch po sebe idúcich obdĺžnikov. Zdroj wiki.

Mimochodom, z veľkej časti vďačíme za pojmy derivácia a integrál Newtonovi, ktorý vymyslel základné fyzikálne zákony vo forme rovníc. Tie následne potreboval vyriešiť a tak k ním vymyslel aj diferenciálne počty. Takto trávil čas v karanténe on.

Newtonove rovnice opisujú, ako sa stav objektov mení v čase a ak ich dokážeme vyriešiť, vieme vlastne predpovedať budúcnosť – kedy a kde dopadne hodený kameň na zem a kedy a odkiaľ bude vidno ďalšie zatmenie Slnka. Fyzika je vďaka Newtonovi vlastne predpovedania budúcnosti, akurát také, ktoré naozaj funguje. A to práve vďaka deriváciam a integrálom.

[Samuel]

PS: Môj obľúbený príklad definície pojmu, ktorá je síce správna, ale totálne neintuitívna, je: „Derivácia je tangens uhla dotyčnice k funkcii s osou x.“ Brrr.

PS2: Samozrejme, v článku sú definície derivácie a integrálu iba načrtnuté. Rigorózna formulácia, s ktorou by sa dalo reálne počítať, si žiada trochu viac. Ale to už asi väčšina ľudí asi nepotrebuje vedieť. Nie je to ale nič strašné.

PS3: Newtonove nápady pochádzajú z jeho karantény, schovával sa pred morom. Viac sme o tom hovorili vo Vedátorskom podcaste.

Pridaj komentár