4. decembra 2020
Diferenciálne rovnice

Na čo sú nám diferenciálne rovnice?


Za jeden z príkladov šarlatánstva sa považuje predpovedanie budúcnosti. Rôzne Baba Vangy a Nostradamovia robia vágne predpovede, na ktoré s trochou snaženia napasujete hocičo. Pravda je však taká, že budúcnosť sa predpovedať dá ­– a to už od čias Isaaca Newtona.

Diferenciálne rovnice a ich riešenie je jeden z objavov, ktoré Newton spravil počas karantény.

Diferenciálne rovnice sú rovnice, ktoré hovoria, ako sa niečo mení, napríklad v čase. Vďaka pendémii koronavírusu nemusíme chodiť za príkladmi ďaleko. Ak máme dnes 100 nakazených a tí stretnú 300 nenakazených, koľko ľudí bude nakazených zajtra? A pozajtra? A popozajtra? Odpoveď na tieto otázky nám vedia dať práve diferenciálne rovnice.  

Diferenciálne rovnice sú vo fyzike všadeprítomné. Zoberme si napríklad úplný základ – Newtonov pohybový zákon. Ten hovorí, že sily udávajú zrýchlenie telesa, teda ako rýchlo sa mení jeho rýchlosť; je to diferenciálna rovnica! Ak ju vieme vyriešiť, tak vieme predvídať, kde sa bude o chvíľu nachádzať pružinka, raketa či kameň. Rišením diferenciálnej rovnice je funkcia, teda matematický predpis, ktorý nám opisuje správanie objektu v budúcnosti (či minulosti).

Riešenie diferenciálnych rovníc nám popisuje meniaci sa systém. Riešenie závisí od počiatočných či okrajových podmienok.

Niekedy je to náročné, na teleso pôsobia rôzne sily a rovnice sa riešia ťažko. A niekedy je to veľmi jednoduché, telesá sú takmer izolované a ich pohyb vieme spočítať na roky dopredu. Napríklad vieme, že 4. septembra roku 2100 bude v Afrike vidno úplné zatmenie Slnka.

Existujú tri základné postupy riešenia (nielen) diferenciálnych rovníc. Ideálne je, ak vieme rovnice riešiť presne, tzv. analyticky. Získame presný matematický predpis, napríklad počet infikovaných či polohu asteroidu hocikedy v budúcnosti.

Nie všetko vieme riešiť presne. Sem-tam prižmúrime očko, vyhodíme z rovnice karedý člen a vyriešime ju bez neho. Potom ho začneme po troškách vracať a pozeráme sa, ako sa mení jej riešenie. Takáto metóda sa volá poruchová, pomaly „kazíme“ pekné riešenie.

Poruchové počty sú základným nástrojom aj v kvantovej teórii. Najprv spočítame najjednoduchší možný scenár a potom pripočítaveme zložitejšie a zložitejšie varianty. Metóda funguje vďaka tomu, že každý ďalší člen predstavuje menšiu a menšiu opravu. Na obrázku sú Feynmanove diagramy, ktoré predstavujú pohyb elementárnych častíc.

V mnohých prípadoch je najschodnejšou cestou použiť počítač. Tomu zadáme, ako rýchlo letí kameň teraz a na základe toho on spočíta, kde bude o sekundu, dve, tri … Strojové výpočty si žiadajú isté zjednodušenia, ktoré vedú k nepresnostiam, na ktoré si musíme dať pozor. Pri väčšine zložitých rovníc sme však na pomoc počítačov odkázaní.

Diferenciálne rovnice sú matematických nástrojom na skúmanie vecí, ktoré sa menia, napríklad v čase či v priestore. Zhodou okolností sú takmer všetky zaujímavé javy také, kde sa niečo mení, hýbe a vyvíja – teda prirodzené ihrisko pre diferenciálne rovnice. Vďaka ich riešeniu vieme, bez preháňania, naozaj predvídať budúcnosť.

[Samuel]

PS: Riešením diferenciálnej rovnice na obrázku je, pre kladné ‘a’, exponenciálna funkcia. Aj neštudovaný pozorovateľ uzná, že táto rovnica nevyzerá veľmi zložito. Exponenciále funkcie sú vo svete také bežné práva vďaka tomu, že sú riešením takýchto najzákladnejších diferenciálnych rovníc.

Predchádzajúce časti
Na čo mi bude v živote logaritmus?
Na čo je mi v živote derivácia a integrál?


Pridaj komentár