14. augusta 2020
kvaterniony

Číselný epilóg, alebo o moste, inšpirácii a o tom, ako sa traja bijú a štvrtý víťazí

Keď Archimedes pri kúpaní objavil svoj zákon o kvapalinách, podľa legendy sa rozbehol nahý po syrakúzskych uliciach a nadšene vykrikoval Heuréka! (Našiel som!) Keď sa o dvadsaťjeden storočí neskôr v roku 1843 írsky matematik Hamilton prechádzal so svojou ženou pozdĺž Royal Canal v Dubline a objavil pri tom dlho hľadané rozšírenie komplexných čísel, nadšene okamžite vpísal tento svoj objav vreckovým nožíkom do kameňa mostu.

Broomsky most, svedok Hamiltonovho objavu.
Broomsky most, svedok Hamiltonovho objavu.

O tej prvej udalosti ste možno počuli, o čo ale presne išlo v tej druhej?

Týkalo sa to nového druhu „čísel“, ktoré Hamilton nazval kvaterniónmi, a ktoré sú ideálnym miestom pre ukončenie našej viacdielnej číselnej rozpravy. [1] Jedným z najväčších klenotov, ktoré sme počas tejto cesty spomenuli, boli takzvané komplexné čísla. Kým reálne čísla si vieme predstaviť ako body na číselnej osi, čísla komplexné zodpovedajú bodom v dvojrozmernej rovine.

Hamilton sa dlho snažil prísť na to, ako by vedel podobným číselným spôsobom pochopiť body v trojrozmernom priestore. Jeho náhly prechádzkový objav spočíval v uvedomení si, že na to potrebuje pridať i štvrtý rozmer. A hľa, kvaternióny (podľa latinského výrazu pre štvorku) boli na svete!

Aj keď dnes bohužiaľ kvaternióny nevyužívame až do takej miery ako Hamilton dúfal (v istom zmysle ich sčasti nahradil vektorový počet), ide o nádherný matematický koncept. Ukázalo sa, že kvaternióny tvoria spolu s komplexnými číslami jediné rozšírenie reálnych čísel, kde môžeme čísla „rozumne“ násobiť a deliť. [2]

Trojrozmerný prierez tzv. Júliovej množiny v kvaterniónoch.
Trojrozmerný prierez tzv. Júliovej množiny v kvaterniónoch. Zdroj: wiki.

Napriek tomu však kvaternióny prichádzajú s istou zvláštnou vlastnosťou – neplatí v nich totiž zvyčajné pravidlo A x B = B x A. Hovoríme, že násobenie kvaterniónov nie je komutatívne. Ako niečo také môže vyzerať? Spomeňme si, že kvaternióny zodpovedajú bodom v štvorrozmernom priestore. Ten si sám o sebe predstavíme asi dosť ťažko, každý bod v ňom však môžeme pekne opísať za použitia štyroch čísel, volajme ich A, B, C, D. Zodpovedajúci kvaternión potom zapíšeme ako

A + Bi + Cj + Dk

pričom sme použili tri špeciálne symboly i, j, k, nazývané kvaterniónové jednotky. Na to, aby sme vedeli povedať, ako sa kvaternióny násobia, nám stačí vedieť, ako násobiť kvaterniónové jednotky. A tu už dajme slovo Hamiltonovi, resp. tabuli, ktorú môžeme vidieť na moste, do ktorého kedysi Hamilton vytesal svoj objav:

Tu, počas toho, ako kráčal okolo
dňa 16. októbra 1843
Sir William Rowan Hamilton
v záblesku génia objavil
základnú formulu pre
kvaterniónové násobenie
i² = j² = k² = ijk = −1
a vytesal ju do kameňa tohoto mostu

Tabuľa na Broomskom moste v Dubline. Zdroj wiki.
[Frico]

Zdroj: wiki (quaternion, William Rowan Hamilton)

[1] Postupne sme tu mali prirodzené čísla, celé čísla, racionálne čísla, reálne čísla, komplexné čísla, algebraické čísla a spočítateľné čísla.
[2] Detaily pre expertov: Takzvaná Frobeniova veta hovorí, že existujú práve 3 konečnorozmerné asociatívne reálne algebry s delením – konkrétne reálne čísla, komplexné čísla a kvaternióny.
[3] Zdroj titulného obrázku aj s vysvetlením.

Pridaj komentár