30. júna 2022
medovinicek

Vykrajovanie medovníkov je veľká veda

Postup poznáte. Vyvaľkáte cesto a vykrojíte medovníky. Dosť vám toho zostalo a tak všetko cesto zhrniete dokopy, trochu pomiesite a znovu rozvaľkáte. Je to otravná činnosť a tak rozmýšľate, ako optimálne vykrajovať tak, aby medzi vykrojenými kúskami zostalo čo najmenej prázdneho miesta.

Toto je v matematike bežná úloha a pekný príklad toho, ako blízko môže byť fundamentálna veda k praktickým aplikáciám. Ako čo najlepšie naukladať čapaté veci do limitovaného priestoru je totiž otázka, ktorú bežne riešia napríklad aj skladovacie firmy. Minulý rok vyšla matematická štúdia, ktorá presne stanovila náročnosť takýchto „baliacich“ problém v dvoch rozmeroch. Vo všeobecnosti neexistuje jednoduchý postup, ktorý by fungoval vždy.

Zložité skladanie v 2D.
Zložité skladanie v 2D, zdroj arXiv.

V niektorých prípadoch však optimálne riešenie poznáme. Napríklad, ak vykrajujete perníky len jedného typu. Ak vykrajujete len okrúhle perníky, tak ich správnym usporiadaním – tak, aby ich stredy tvorili šesťuholníkovú mriežku – budete mať pri každom krájaní len 10% odpadu. (Presnejšie: bude tvoriť √3π šestín z cesta.)

Nedalo by sa cesto nakrájať dokonale? Samozrejme, že dalo. Napríklad, ak máte obdĺžnikovo vyvaľkané cesto, tak ho viete nakrájať na menšie obdĺžniky. Áno, viem – obdĺžniky nie sú veľmi dekoratívne. Ako však spopularizoval umelec Maurits Cornelis Escher, cesto dokážeme dokonale nakrájať aj pomocou zložitejších tvarov, napríklad rôznych jašteričiek.

Escherov vzor, zdroj wiki.
Escherov vzor, zdroj wiki.

Ako rozdeliť plochu na pekné a pravidelné tvary, to je úloha, ktorou sa okrem medovníkarov zaoberajú aj kachličkári, dláždiči či tapetári. Evgraf Fedorov koncom 19. storočia dokázal, že existuje len 17 rôznych druhov pravidelných kachličiek. Na ich klasifikáciu sa používajú pojmy z teórií, ktoré sa zaoberajú symetriou, ako kryštalografia či orbifoldy.

Dokonale nakrájané cesto ste si doteraz asi predstavovali periodické. Teda, nájdete nejaké vhodné usporiadanie a opakujete ho. Existuje aj možnosť, ako dokonale nakrájať cesto bez opakovanie? Áno, existuje. Takéto usporiadanie našiel ako prvý Roger Penrose, nositeľ Nobelovej ceny za výskum čiernych dier. Najprv na to potreboval štyri, neskôr len dve kosoštvorcové formičky.

Penrosova kachlička. Zdroj wiki.
Penrosova kachlička. Zdroj wiki.

No dobre, toto všetko je pekné, no môže mať takýto vzor aj vianočný nádych? Odpoveď je znovu kladná. Nórsky chemik Martin Lersch objavil tvar vianočného stromčeka, ktorým sa dá cesto nakrájať bezo zbytku. Aj si ho 3D-vytlačil a úspešne používa v kuchyni. Ak toto nie je čaro Vianoc, tak ja už neviem.

[Samuel]
Lerchov vianočný vzor.
Lerchov vianočný vzor. Zdroj Atlas Obs.

Pridaj komentár