Prvočísla, časť druhá: O Euklidovi a jeho dôkaze

Prednedávnom sme tu mali úvodný príspevok o prvočíslach a prisľúbili sme, že sa dostaneme k niektorým zaujímavým otvoreným problémom, ktoré sa ich týkajú. Bol by však hriech nespomenúť po ceste niekoľko zaujímavostí, medzi nimi napríklad dôkaz tvrdenia, že prvočísel je nekonečne veľa, pochádzajúci od gréckeho matematika Euklida.

Euklidov nápad bol jednoduchý a elegantný. Predstavme si, že by prvočísel bolo konečne veľa, t.j. mohli by sme ich napísať do radu jedno za druhým a vystačilo by nám na to konečné množstvo papiera.

Ak by sme ich mali takto napísané, mohli by sme ich všetky vynásobiť a dostali by sme nejaké obrovské číslo, nazvime ho N. Keďže toto číslo vzniklo vynásobením všetkých prvočísel, je aj každým prvočíslom deliteľné. Kľúčové pozorovanie je, že ak k tomuto číslu prirátame jednotku, výsledok nebude na oplátku deliteľný žiadnym prvočíslom.

Príklad pre ilustráciu: číslo 2×3×5×7+1 nie je deliteľné žiadnym z čísel 2,3,5,7 – pri delení hociktorým z nich vždy dostaneme zvyšok 1.

To je ale divné, nie? Veď každé prirodzené číslo (okrem 1) je deliteľné nejakým prvočíslom! (Spomeňme si, že prvočísla sú akýmisi stavebnými kameňmi čísel.) Niekde sa teda stala chyba. Ale kde? Chybný bol náš predpoklad, že prvočísel je konečne veľa.

Záver: Prvočísel je nekonečne veľa! Q.E.D. (Lat. quod erat demonstrandum, čiže „a to sme chceli dokázať.“)

[Fridrich]

PS: Takýto typ argumentácie sa v matematike využíva veľmi často – volá sa dôkaz sporom.

– – –

[Obr]
https://www.britannica.com/biogr…/Euclid-Greek-mathematician