Hilbertov nekonečný hotel

Už sme na Vedátorovi rozoberali kadejakú matematiku, v poslednej dobe hlavne v súvislosti s prvočíslami. Napríklad sme si ukázali Euklidov dôkaz, že prvočísel je nekonečne veľa. Občas nám tu padali aj nejaké iné prípady, kedy sme sa dotkli nekonečna. Čo však tento všadeprítomný pojem vlastne znamená?

Prvé vysvetlenie, ktoré človeka napadne, môže znieť napríklad takto:
„Keď povieme, že máme niečoho nekonečne veľa, myslíme tým, že toho nie je konečný počet.“

To znie rozumne, no nie? Veď „konečnosť“ je predsa pojem oveľa bližší nášmu chápaniu. Niekto sa nás však môže opýtať: „No dobre, a čo presne znamená, ak je niečoho konečne veľa?“

Nuž, odpovedať niečo v zmysle, že „to znamená, že toho nie je nekonečne veľa,“ očividne nie je vhodná odpoveď. Dochádzame k záveru, že tadeto cesta zrejme nevedie.

Aká cesta je teda schodná? Možno postupovať takto: vezmime si našu „skupinu“, ktorá obsahuje nejaké „objekty“ a predstavme si, že z nej niekoľko objektov vyhodíme. Teraz skúsime porovnať, či v tejto skupine budeme mať menej objektov ako v pôvodnej.

To znie jednoducho, nie? Samozrejme, že v tej druhej skupine je objektov menej ako v prvej, veď tá druhá vznikla vymazaním časti objektov z tej prvej. Lenže situácia, našťastie, nie je taká jednoduchá!

Pre obyčajné skupiny, ktoré v živote stretávame (9 susedových detí, 17 melónov zo štvrtkového nákupu, 314 mincí v peňaženke, 1 šálka kávy, 7 trpaslíkov) naozaj platí, že vždy keď z tejto skupiny časť odstránime, dostaneme skupinu, ktorá je menšia – práve takéto skupiny voláme konečné. Skupiny, z ktorých môžeme časť objektov odstrániť a dostaneme skupinu rovnako veľkú ako bola tá pôvodná, nazveme nekonečnými. Hneď si to ilustrujeme.

Najprv sa však dohodnime, v súlade s rečou používanou matematikmi, že miesto slova „skupina“ budeme používať slovo „množina“ a namiesto o „objektoch skupiny“ budeme hovoriť o „prvkoch množiny“. Platí?

Ďalej sa dohodnime, čo presne myslíme pod tým, že dve množiny, nazvime ich A a B, sú rovnako veľké. Myslíme tým to, že môžeme nájsť nejaké „spárovanie“ všetkých prvkov v A a všetkých prvkov v B. Ak množina A obsahuje ľavé rukavice a množina B pravé, vieme ich pospájať tak, že nič nezostane. V matematike hovoríme, že naše dve množiny sú v „bijekcii“.

Vezmime si konkrétny príklad. Typickou nekonečnou množinou je množina čísel
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,…
Tieto čísla majú aj dôležité meno –’prirodzené čísla’, na odlíšenie od iných typov čísel (celé, racionálne, reálne, atď.)[1].

Prečo je táto množina nekonečná? Povedzme, že z našej množiny odstránime prvý člen, číslo 0. Teraz si tie dve množiny napíšeme pod seba:
0,1,2,3,4,…
1,2,3,4,5,…
Vidíme, že si môžeme spojiť čísla, ktoré sú nad sebou: 0 s 1, 1 s 2, 2 s 3, atď. Dôležité je, že každé číslo bude mať svojho partnera. Množina prirodzených čísel je teda v bijekcii ( = je rovnako veľká) so svojou podmnožinou, ktorú dostaneme odstránením nuly. Čiže je to nekonečná množina! Zobrali sme jedno číslo a stále ich je rovnako veľa – to je definičná vlastnosť nekonečna.

Tento zdanlivo paradoxný fakt ilustroval nemecký matematik David Hilbert svojou predstavou o nekonečnom hoteli. Hilbertov hotel má nekonečné veľa izieb, označených prirodzenými číslami 1,2,3,4, atď. Každá izba pojme len jedného človeka. Hotel práve zažíva rušnú noc a všetky jeho izby sú obsadené, keď tu sa na recepcii objaví ďalší hosť, pán Ondrej, hľadajúci nocľah.

Recepčný oznámi: „Žiaľ, práve dnes nemáme žiadnu voľnú izbu.“ Na prekvapenie pána O. však o chvíľu dodá: „Vieme však presunúť nejakých hostí do iných izieb a uvoľniť vám lôžko v izbe číslo 1.“ Recepčný vzápätí rozošle ubytovaným hosťom informácie o zmene izby. Pani z izby č. 1 sa ma presunúť na izbu č. 2, návštevník z izby č. 2 sa má presťahovať na izbu č. 3, slečna z izby č. 3 sa presunie na izbu č. 4, a tak ďalej..

Za niekoľko minút sa pán O. ubytuje na uvoľnenej izbe č. 1. Všetci hostia majú svoje vlastné lôžko, a môžu pokojne spať.

Všimnite si, že recepčný využil priradenie (bijekciu) popísanú vyššie: Pán O. sa ubytoval na izbe č.1, kým ostatní hostia sa posunuli podľa vzoru 1–>2, 2–>3, 3–>4, a tak ďalej. Hotel bol plne obsadený pred aj po príchode pána Ondreja, a to je možné preto, lebo jeho príchodom/odchodom sa (nekonečne veľký) počet hostí nijako nezmenil.

[Frico a Tomáš]

P.S.1:
Na domácu úlohu si premyslite, prečo je párnych čísel
0,2,4,6,8,…
rovnako veľa ako všetkých prirodzených čísel
0,1,2,3,4,…

P.S.2:
Nie všetky nekonečná sú však rovnako veľké! O tomto si povieme čoskoro.

[1] Prirodzenosť zodpovedá tomu, že tieto čísla sú, alebo aspoň dlho boli, považované za pomerne „prirodzené“, v prírode vidíme jeden strom, dve žaby či tri oblaky.