Existuje 43 252 003 274 489 856 000 spôsobov, ako usporiadať rubikovu kocku normálnym spôsobom, teda otáčaním jednotlivých vrstiev. Existuje však 519 024 039 293 878 272 000 spôsobov, ako ju rozbitú poskladať nanovo. Ako ste si všimli, to druhé číslo je presne 12-krát väčšie. A to znamená, že ak si rozbijete kocku a poskladáte ju nanovo, je šanca 1:12, že ju budete vedieť poskladať znovu.
Desiatky triliónov možností znamená, že vám táto hračka vydrží dlho ak ju nebudete riešiť systematicky. Jej čaro je založené na takzvanej nekomutatívnosti. Inými slovami, na poradí úkonov záleží. Ak idete variť vajíčko, najprv ho zbavíte škrupiny a potom dáte do vody, spravíte stratené vajce. Ak ho najprv uvaríte a až potom odšupkujete, získate vajce na mäkko. Tie isté úkony v inom poradí vedú na iný výsledok.
Úkony, ktoré sa robia s kockou, sú rotácie plôch. Môžete otáčať predné, zadné, bočné, horné, dolné – buď v smere alebo protismere hodinových ručičiek. Má to aj svoje značenie, napríklad F(ront) pre prednú stranu, R(ight) pre pravú a podobne. Ak otáčate proti smeru, pridáte čiarku, napríklad F’. Ak spravíte viac operáci po sebe, napíšte ich za seba, napríklad R F R. Ak spravíte tú istú operáciu viackrát, môžete to značiť indexom, napríklad F3.
Na kocke sa dá robiť nič sofistikovaným spôsobom. Napríklad F4 = 1, kde 1 znamená „nespravil som nič“, jednoducho sme prednú stenu otočili o 360º. Existujú aj zložitejšie spôsoby, ako nespraviť nič, napríklad ( D R’ U2 M )1260; čiže postupnosť piatich krokov zopakované 1260-krát vás dostane do pôvodného stavu.
Jednoduchší spôsob ako nespraviť nič je hneď odrobiť, čo ste spravili, napríklad F F’ = 1. No a teraz príde podstata čara rubikovej kocky, zoberte dve ničnerobenie, napríklad F F’ a R R’ a poprepletajte ich dokopy. Dostanete napríklad F R F’ R’ ≠ 1, teda niečo, čo už nie je ničnerobienie!
Matematicky sa takémuto niečomu hovorí nekomutatívna grupa. Grupa je súbor vecí, typicky operácií, ktoré môže spájať dokopy – v našom príklade spraviť viacero otočení po sebe. Zároveň musí grupa obsahovať prvok ničnerobenia, označili sme ho 1 a ku každému prvku existuje prvok inverzný, teda A A’ = 1.
Pri niektorých grupách na poradí nezáleží, pri mnohých áno – tak je to aj v prípade možných otočení rubikovej kocky. V matematike sa na to zaviedlo pojem komutátor, označuje sa hranatými zátvorkami a vlastne porovnáva, aký je rozdiel keď prenásobíte dva prvky v takom poradí alebo v opačnom:
[X,Y] = X Y X’ Y’.Druhým zaujímavým objektom je združenie, niečo na štýl L D L’, teda zoberiem ničnerobenie a medzi to niečo pichnem. Kombinovaním týchto úkonov dostávam niečo celkom užitočné, napríklad ak zoberiete X = L D L’, Y = U, tak komutátor [ X, Y ] medzi sebou otočí tri rohové kocky.
Teória grúp je jednou z najvýznamnejších oblastí matematiky a v jej reči je sformulovaná veľká časť modernej fyziky. Napríklad, model časticovej fyziky je označovaný ako SU(3) × SU(2) × U(1) – pričom jednotlivé časti označenie, napríklad SU(2), sú práve grupy (dve z nich sú nekomutatívne). Berte teda rubikovu kocku ako také ľudské okienko do vysokej matematiky a fyziky.
Amatéri typicky riešia kocku postupne, poskladajú jednu stenu a potom sa snažia opatrne skladať ostatné steny tak, aby už nepokazili, čo majú. Existuje napríklad postup 20-krokov, ktorý posunie jedno políčko tak, aby nič nepokazil. Profíci, ktorí kocku skladajú na čas (rekord je 3.13 sekundy) to samozrejme robia oveľa efektívnejšie; v priemere potrebujú okolo 50-krokov na riešenie celej kocky.
Čo, ak by ste kocku riešili dokonale? Minimálny počet krokov sa volá božie číslo. V roku 1981, teda rok potom, čo sa z kocky stal svetový hit, sa odhadovalo, že je to niečo medzi 18 a 52. Tento interval sa postupne zužoval a v roku 2010 sa podarilo dokázať, že božie je niečo medzi 20 a 20, teda presne 20 krokov.
Ako sa to podarilo zistiť? Kocka má isté symetrie, takže tie trilióny možných riešení sa dajú zredukovať na trochu rozumnejšiu sadu asi 55 miliónov rôznych sád, riešenie jednej trvalo asi 20 sekúnd. To by jeden počítač dokázal overiť za 35 rokov, úloha sa však dá rozdeliť medzi viacero počítačov a tie to zvládnu už za pár dní či mesiacov – podľa toho, koľko ich máte k dispozícii.
Esencia rubikovej kocky teda nespočíva v jej kockatosti či veľkosti ale v nekomutatívnosti úkonov. Preto neprekvapí, že existujú rôzne variácie – napríklad máme inak veľké kocky (najmenšia je 2 × 2 × 2, najväčšia postavená je 33 × 33 × 33), rôzne tvary (puk, štvorsten, dvanásten, …), iné formy rotácie a na počítači dokonca iný počet rozmerov, napríklad 4- či 5-rozmerné kocky. To je sympatické, lebo rubikovej kocke predchádzala dvojrozmerná úloha – „posúvačka“ (päťnástka) – a keď sme sa z 2 rozmerov pohli do 3, bola by predsa škoda nepokračovať ďalej.
[Samuel]