Prvočísla, epilóg: Riemannova hypotéza

Na uzavretie cyklu o prvočíslach si dnes napíšeme niečo o Riemannovej hypotéze, o najznámejšom a podľa mnohých expertov aj najdôležitejšom otvorenom probléme v matematike. Táto hypotéza vraví, že istá funkcia, nazývaná ζ (čítaj zeta) nadobúda nulovú hodnotu iba v istých veľmi konkrétnych bodoch. [1]

Matematické funkcie sú ako krabičky na čísla. Nejaké do nej vložíte a nejaké z nej vypadne. Napríklad do funkcie f(x) = 2x vložíte číslo x a vypadne vám jeho dvojnásobok 2x. Vhodíte 2, vypadne 4. Vhodíte 5, vypadne 10. Funkcie sú teda predpisy, ktoré prepájajú čísla s inými číslami.

Zeta funkcia je jednou z nekonečna možných funkcií, v niečom je však veľmi špeciálna. Jej príbeh sa začal v roku 1650 takzvaným Bazilejským problémom. Úlohou bolo spočítať nekonečný súčet
1/1²+1/2²+1/3²+…=1+1/4+1/9+…

Prvé správne riešenie ponúkol až Leonard Euler [2] v roku 1734 – výsledok je presne rovný π²/6. Toto číslo označíme ako ζ(2). Dvojka tu zodpovedá tomu, že všetky čísla v menovateľoch vystupujú v druhých mocninách. Podobne napríklad máme
ζ(3)=1/1³+1/2³+1/3³+…=1+1/8+1/27+…
a podobne. Takýmto spôsobom môžeme zeta funkciu definovať aj pre ďalšie čísla [3]. Hurá, už vieme (viac-menej), čo je zeta funkcia. Vložíme do nej číslo a vypadne iné číslo – ako výsledok súčtu nekonečnáho radu.

Na druhej strane arény máme naše staré známe – prvočísla. Záhadné a nedostupné, legendami opradené a predsa všadeprítomné. Od staroveku sa im ľudia snažili porozumieť a vniesť aké-také pochopenie do ich usporiadania. Po stáročia sme objavovali nové a nové poznatky (Euklidov dôkaz o nekonečnom množstve prvočísel, súvis s mnohouholníkmi, atď.) a formulovali odvážne a dodnes otvorené hypotézy (Goldbachova domnienka, nekonečné množstvo prvočíselných dvojičiek, a pod.). Keď tu zrazu v polovici 19. storočia prichádza na scénu mladý nemecký matematik Bernhard Riemann a vo svojom kratučkom článku [4] mení celý náš pohľad na problematiku. Ba čo viac, skrze svoju zeta funkciu, spája problematiku prvočísel s naoko úplne nesúvisiacim odborom tzv. matematickej analýzy.

Riemann totiž našiel priamy vzorec na vyjadrenie funkcie, ktorá popisuje rozmiestnenie prvočísel [5]. Tento vzorec je relatívne komplikovaný, ale zas nie priveľmi. Okrem iného v sebe zahŕňa súčet nekonečného počtu príspevkov, jedného za každú (netriviálnu) nulu našej funkcie ζ. Pod nulou tu myslíme také číslo x, pre ktoré dostaneme ζ(x)=0; pre zeta funkciu rozlišujeme tzv. triviálne (týmto rozumieme, ide o záporné párne čísla) a netriviálne nuly (týmto nerozumieme, ide o čísla ležiace mimo tzv. reálnej osi). Inými slovami, skúmal aké čísla môžeme vložiť do zeta funkcie, aby z nej vypadla nula.

Teraz si dovolím jedno nádherné (a možno trochu neortodoxné) porovnanie, ktoré som sa dozvedel z [6]. Ide o to, že vzťah medzi nulami zeta funkcie a prvočíslami je v istom zmysle analogický tzv. vlnovo-časticovej dualite z kvantovej mechaniky. Napríklad, možno ste počuli, že v kvantovej mechanike sa na popis častíc používa vlnová funkcia – ide o funkciu, ktorá v sebe kóduje informáciu o pravdepodobnostiach zodpovedajúcich tomu, že danú časticu nájdeme na konkrétnom mieste v priestore. Ak však chceme, túto funkciu si môžeme rozložiť do vĺn, ktoré zase zodpovedajú rozličným hybnostiam našej častice. Rovnako je naša funkcia, rátajúca prvočísla, rozložená do akýchsi „vĺn“, ktoré však nezodpovedajú hybnostiam, ale nulám funkcie ζ.

V tejto chvíli odporúčam pozrieť si toto gifko: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Riemann_Explicit_Formula.gif

Červená čiara je naša funkcia, ktorá počíta prvočísla. Modrá čiara zodpovedá tomu, ako pridávame (v rámci tej Riemannovej formulky) príspevky dané postupne ďalšími a ďalšími (netriviálnymi) nulami zeta funkcie.

Navrátiac sa k pôvodnej téme, Riemannova hypotéza hovorí o tom, že všetky netriviálne nuly našej zety ležia na jednej priamke v komplexnej rovine. Preložiac toto tvrdenie do nášho „vlnového“ jazyka, hypotéza vraví, že jednotlivé „vlnky“ majú akési špeciálne (asymptotické) správanie.

Napokon, prečo veríme (teda aspoň väčšina expertov verí), že Riemannova hypotéza platí? Asi hlavný argument je fakt, že sa podarilo dokázať tzv. Weilove domnienky, ktoré sa dajú chápať ako akísi mladší bratranci Riemannovej hypotézy. Tento dôkaz bol zavŕšený v roku 1974 belgickým matematikom Deligne-om (ktorému priniesol Fieldsovu medailu). Nemenej dôležité je, že práca na Weilových domnienkach spôsobila významný rozvoj v modernej matematike.

Dôkaz Riemannovej hypotézy by bol tiež nepochybne obrovským prelomom v matematike, ale asi si naň chvíľu ešte budeme musieť počkať (ak teda hypotéza naozaj platí). Napríklad, dá sa ukázať, že mnohé zaujímavé alebo hlboké tvrdenia (nielen) o prvočíslach sú ekvivalentné Riemannovej hypotéze alebo vyžadujú jej platnosť. Toľko rozruchu okolo jednej funkcie!

[Frico]

[1] Pre porovnanie si vezmime napríklad funkciu sínus. Táto nadobúda nulovú hodnotu iba v bodoch, ktoré sú násobkami čísla π (pí), resp. násobkami 180 stupňov.

[2] Euler bol vtedy ešte dosť mladý (mal 28) a toto prvenstvo mu prinieslo pomerne veľkú (a zaslúženú) slávu.

[3] Tu treba povedať, že na to, aby sme naozaj “uchopili” túto funkciu, musíme do nej vedieť napchať hocijaké tzv. komplexné číslo. Pre účely tohoto príspevku však túto (nesmierne dôležitú) maličkosť môžeme preskočiť. Spomenieme však inú zaujímavosť: dnes vieme, že čísla ζ(2), ζ(4), ζ(6), ζ(8), atď. vieme všetky vyjadriť za pomoci mocnín čísla π. Ak však do zety vhodíme nejaké nepárne číslo, situácia sa nesmierne skomplikuje – nevieme ani len povedať, či sú tieto čísla iracionálne. Výnimkou je len ζ(3), ktorej iracionalita sa dokázala len relatívne nedávno a voláme ju, podľa autora tohoto dôkazu, Apéryho konštanta.

[4] Mimochodom, bol to jeho jediný (!) článok v tejto oblasti.

[5] Ide o funkciu, ktorá sa (bohužiaľ) tiež značí písmenom π (pí). Konkrétne, pre dané číslo x definujeme π(x) ako počet prvočísel menších alebo rovných ako x.

[6] https://golem.ph.utexas.edu/category/2019/09/the_riemann_hypothesis_part_1.html

(Predošlý diel o prvočíslach)