22. mája 2024
pi

Obsahuje číslo pí všetko?

Pravidelne sa internetom šíria obrázky s mysticky ladeným popisom. Je na nich zobrazené číslo pí, teda jeho krátky začiatok 3.1415…. Číslo pí nemá konca, je nepravidelné a tak ľudia usudzujú, že sa v tomto čísle ukrýva všetko – obsahuje informácie o celom vesmíre, vašom narodení, živote aj smrti.

Náhodnosť

Je to vážne obvinenie, poďme si ho rozmeniť na drobné. Po prvé, je číslo pí náhodné? Nie v klasickom slova zmysle. Vždy, keď sa na neho pozriete, vyzerá rovnako. Na prvom desatinnom mieste je vždy 1, na druhom 4.

Namiesto toho hovoríme, že číslo pí je normálne. Tým sa myslí, že všetky číslice sú v jeho desatinnom zápise zastúpené rovnako často. V nekonečnom zápise (typicky) nenájdete viac 6 ako 9. Podobne aj dlhšie postupnosti číslic. Javí sa tak, počítačovo sa overilo na veľa cifier, no to v matematike ešte nie je náhradou poriadneho dôkazu.

Dalo by sa teda povedať, že číslo pí nie je náhodné v klasickom slova zmysle, ale že je dokonale nepredvídateľné. Ak poznáme prvých milión číslic, netušíme, aká nasleduje.

Kapacita

Má v sebe číslo pí dostatok miesta, aby opísalo všetko vo vesmíre? Je nekonečno dlhé, čo vyzerá ako slušný začiatok. Panujú predstavy, že je náš vesmírny nespojitý, skladá sa z malých dielikov.

Ak pristúpime na túto predstavu, tak je to len jeden krok k tomu, aby sme prijali, že vesmír ma konečný počet možných stavov. Elektrón sa môže nachádzať v tomto bode, alebo v bode o kúsok vedľa, no nie medzi – jeho stav je opísateľný celým číslom. Vesmír tak – možno – dokážeme opísať ako sériu celých čísiel či ako jedno dlhé číslo.

Prípadne, v reči informatiky, dokážeme stav vesmíru zapísať pomocou konečne veľkého počtu 1 a 0. Len tak zo srandy, koľko by sme ich potrebovali? Existuje holografická hypotéza, ktorá hovorí, že množstvo informácie vtesnateľnej do nejakého objemu je úmerné ploche tohto objemu (v Planckových jednotkách). Pre náš pozorovateľný vesmír je to asi 122-cifererné číslo. To je veľa, no do pí sa to zmestí aj s rezervou.

Informačný obsah

Sú teda v čísle pí uložené všetky dôležité informácie?

Príkladom niečoho informaticky bohatého je kuchárska kniha. Poviem vám: „strana 122“, vy si ju nalistujete a dozviete sa celý recept, od ingrediencií až po postup. A ak by som vám namiesto toho povedal „strana 165“, tak sa dozviete úplne iný recept.

Ja vám dodávam jedno krátke číslo a vy sa pomocou kuchárky dozvedáte mnoho informácií. A to vďaka tomu, že je kniha informačne bohatá. Oplýva takýmto bohatstvom aj číslo pí?

Nie. Jednoduchý príklad: predstavte si, že by som vám chcel pomocou čísla pí odkázať, kedy mám narodeniny. Je to 15. októbra, teda zoberiem čísla 1510. Z normálnosti čísla pí máme zaručená, že sa v ňom toto štvorčíslie nachádza, o tom pokoj. Pozriem sa na dlhý zápis čísla pí, pohľadám 1510 a pošlem vám jeho polohu.

V tomto prípade to dopadne tak, že vám pošlem správu: „Moje narodeniny sú na 10237. mieste.“ Čaro kuchárskej knihy sa stratilo. Na poslanie informácie o štvorcifernom čísle musím použiť číslo päťciferné. To nie je veľká výhra.

Prázdno

Nevyzerá to tak, že by číslo pí informácie uchovávalo, dovoľuje nám ich len pretlmočiť, namiesto 1510 povieme 10237. Má v sebe rôzne vzory a síce obsahuje všeličo, no na veľmi nepredvídateľnom a ťažko nájditeľnom mieste.

Informatici sa dlho zaoberali otázkou, že koľko informácie sa vlastne nachádza v nejakom reťazci. Napríklad majme dve postupnosti písmen: „horí dom aj šopa za ním“ a „hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh“. Majú rovnako veľa znakov, no jedna z nich nesie oveľa viac informácií. Len na dĺžke teda nezáleží.

Vznikol na to pojem, ktorý nesie veľa mien. Kolmogorova komplexita, algoritmická entropia, deskriptívna zložitosť. Znie to hrozivo, myšlienka je však krásne jednoduchá. Komplexnosť správy je úmerná svojmu najkratšiemu opisu.

Napríklad namiesto „hhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh“ môžeme napísať „23×h“ a máme to isté. Správa „horí dom aj šopa za ním“ sa však nedá takýmto spôsobom zjednodušiť.

V prípade viet v ľudských jazykoch nastupujú rôzne pôvabné a zaujímavé aspekty, ktoré celú záležitosť komplikujú. V prípade čísla pí je však odpoveď priamočiara. Poznáme vzorčeky, ktoré vieme vložiť do počítača a ten nám spočíta toto číslo s ľubovoľnou presnosťou. A ako tušíte, tieto vzorčeky sa dajú napísať na pár znakov.

A čo fyzika?

Niekto by mohol namietať. A čo fyzika? Newton gravitačný zákon sa tiež dá zapísať na pár znakov a predsa pomocou neho vieme určiť kopu informácií – od zatmení Slnka, cez pohyb komét až po vývoj galaxií.

Newtonove rovnice nám však samé osobe nepovedia nič. Treba ich nevyriešiť a zadať počiatočné podmienky. Ak im poviete, kde sa Mesiac nachádza teraz, povedia vám, kde bude za hodinu. Informácia za informáciu, jedna k jednej.

Fyzikálne rovnice teda informácie netvoria, ale transformujú. Zadáme stav systému dnes a vrátia nám stav systému zajtra.

Všehopí

Číslo pí je fascinujúce z mnohých dôvodov, no nie je tak informačne bohaté, ako sa zdá. Dokonca vyzerá byť, čo do práce s informáciami, menej užitočné, než fyzikálne rovnice.

Zložitosť čísiel – z pohľadu ktorej pí dopadlo tak neslávne – je veľmi dôležitý koncept, ktorý presahuje matematiku, fyziku aj informatiku. Ak mám nejaký program zapísaný pomocou 1 a 0, ako veľmi sa dá skomprimovať? Ak mám nejaký systém, je reálne neusporiadaný, alebo sa len tak javí? Aké zložité sú veci naozaj?

No a tu začína sranda. Teda, aspoň podľa mňa. Vo fyzike sú výpočty, ktoré sa zvhrnú na to, že povaha nejakého systému záleží od jeho „výpočtovej zložitosti“. Teda od toho, či sa nejaké dlhé čísla dajú zapísať kompaktne alebo nie. Nejde o maličkosti, ale veci, ktoré sa týkajú povahy druhého termodynamického zákona a ten zas úzko súvisí so smerom plynutia času.

No a čo je na tom tá sranda? Že vieme dokázať, že „výpočtová zložitosť“ je nespočítateľná. Ak uvidíte veľmi veľmi dlhé číslo, ktoré vyzerá náhodne, neviete povedať, či je naozaj náhodné, alebo sa pre neho dá napísať podobne jednoduchý vzorček, ako pre číslo pí.

Toto je tá skutočná fascinujúca vec na čísle pí a jemu podobných. Tak ako existuje, sa dá vo svojej nekonečnosti napísať pomocou úplne krátkeho vzorčeka. Ak by sme však zobrali rovnako dlhé a podobne vyzerajúce číslo, v princípe nevieme povedať, či dá alebo nedá zapísať jednoduchšie.

Po boku Gödelovej vety o neúplnosti či halting problému je to ďalšia ukážka limitov nášho poznania. Aj vďaka tomu som priklonený k tvrdeniu, že matematiku netvoríme, ale objavujeme. Má totiž aspekty, ktoré nás, zdá sa, presahujú.

[Samuel]

– – –

1. Počítanie možných stavov nášho vesmíru je zložitejšie, ako sa môže zdať. Vedú sa o tom rôzne polemiky.        

2. Fun fact: Ak vyjadríme stav vesmíru ako postupnosť 1 a 0, vieme mu priradiť reálne číslo na intervale 0 a 1. Postup je jednoduchý, zobrať postupnosť (1,0,1,1,0,…), priradíme jej postupnosť (1/2, 0/4, 1/8, 1/16, 0/32, …) a výsledok sčítame.

3. Srandičky si v prvom milióne cifier pí môžete pohľadať tu
https://www.piday.org/million/

4. Súvis fyziky a výpočtovej entropie je cez tzv. paradox Maxwellovho démona. Máme o ňom epizódu podcastu.

Pridaj komentár