O tom, ako riešiť neriešiteľné

Vo vede veľmi často neviete, k čomu nejaký konkrétny výskum povedie. Niekedy sa z veľkých nápadov stávajú neočakávané fiaska, inokedy zase z drobných nápadov vyrastajú prevraty, ktoré menia náš pohľad na svet okolo. Príkladom takého druhého prekvapenia bol objav komplexných čísel.

Začalo sa to nevinne. V 16. storočí si talianski matematici všimli, že pri riešení takzvaných kubických rovníc [1] musia v priebehu výpočtu manipulovať s (druhými) odmocninami zo záporných čísel [2]. Prečo je to problém? Pripomeňme si, že druhá odmocnina z nejakého čísla, napríklad z 9, je také číslo, ktoré keď vynásobím samo sebou, dostanem pôvodné číslo. V našom prípade je odmocnina z 9 rovná 3, keďže 3 × 3 = 9. Aké číslo musím ale vynásobiť samo sebou aby som dostal -1 ? Po chvíli hľadania ľahko zistíme, že také číslo na reálnej osi nenájdeme. Napriek tomuto faktu sa pri výpočtoch horeuvedených matematikov ukazovalo, že je užitočné „predstierať“, že takéto čísla máme, a ďalej s nimi pracovať.

Tieto čísla voláme imaginárne. Najznámejším predstaviteľom je číslo označované písmenkom i. Toto číslo spĺňa vlastnosť, že ak ho vynásobím samé so sebou, dostanem -1, čiže i² = -1. Kombinovaním i-čka a reálnych čísel, napríklad 2 + 3 × i, dostaneme niečo, čomu matematici hovoria komplexné čísla. [3]

Komplexné čísla majú mnohé úžasné vlastnosti. Napríklad, „povolením“ komplexných čísel sa mnohé rovnice zrazu stávajú riešiteľnými. Napríklad taká rovnica x² + 1 = 0 má odrazu riešenie! Uhádnete aké? Avšak, a to je ešte viac prekvapivé, aj oveľa komplikovanejšie rovnice tohoto typu, napríklad x⁸ + 2 x⁷ – 3 x⁴ + 2 x² – x – 1 = 0, sú teraz riešiteľné! To ale neznamená, že ich riešenia vieme nejako jednoducho nájsť. Tento fakt nesie aj honosné meno – voláme ho základná veta algebry.

Komplexné čísla nám otvorili nové obzory. Dnes ich nájdeme prakticky všade – okrem iného vo fyzike, geometrii, štúdiu prvočísel, fraktálov, a v neposlednom rade v „umení“. Keďže totiž komplexné čísla nevieme zobrazovať za pomoci konvenčnej číselnej osi, na prácu s nimi používame takzvanú komplexnú rovinu. A aby sme pri vykresľovaní komplexných funkcií vedeli obsiahnuť všetky informácie, často pri tom používame rozličné farby.

[Frico]

[1] https://vedator.space/o-poezii-a-rovniciach/
[2] A to aj v prípade, že hľadaný výsledok je reálny. Poviete si možno: „Určite mali len zlú metódu!“ Nie. Dnes vieme ukázať, že tento problém sa naozaj nedá obísť.
[3] Množina komplexných čísel sa označuje krásnym písmenom ℂ.