6. decembra 2022
lee carter

Ako dokážu aktuári predvídať nepredvídateľné

Jeden z najväčších otáznikov našich životov je, že ako dlho budeme žiť. Tomu prispôsobujeme mnohé investície do budúcnosti, či už vo forme financií, vzdelania či budovania zázemia. Na druhú stranu často počúvame o očakávanej dĺžke života a o tom, ako sa má najbližšie roky či dokonca desaťročia táto hodnota zvyšovať.

Pre nás ľudí je to síce pozitívna vízia budúcnosti, avšak pre poisťovne a dôchodkový systém predstavuje zvyšujúca očakávaná dĺžka života riziko, konkrétne riziko dlhovekosti. Prečo je dôležité pre poisťovne správne predpovedať dĺžku života svojich poistencov?  Odpoveď je jednoduchá, ak by poisťovňa podcenila riziko dlhovekosti je možné, že nebude mať dostatok finančných prostriedkov na výplatu poistných plnení pri dožití sa určitého veku alebo dôchodkov.

Ako je možné, že dokážeme predvídať nepredvídateľné?

Odpoveď má dve časti. Prvá je pomerne jednoduchá – nerobíme predpoveď pre jednotlivca, ale pre štatistickú vzorku. Keď spriemerujete veľa náhodných vplyvov, navzájom sa eliminujú. Keď hodíme mincu raz, netušíme, či padne líce alebo rub. Ak mincu hodíme tisíckrát, vieme, že približne päťsto krát padne líce a päťsto rub. Úplne presne to nevieme, avšak s určitou pravdepodobnosťou odhad máme. Táto pravdepodobnosť sa zvyšujúcim sa počtom pozorovaní zvyšuje.

Rovnako teda nevieme ukázať prstom na jedného človeka a povedať, akého veku sa dožije. No vieme ukázať prstom na tisíc ľudí  a povedať, akého veku sa dožijú v priemere. Toto bola prvá časť, druhá je zložitejšia.

Ak chcete robiť na základe štatistických údajov predpovede, máte rôzne možnosti, ako na to. Na jednej strane spektra je jednoduchá extrapolácia známych údajov. Často to funguje až prekvapivo dobre, tzn.  pozriete sa, aký trend platí dnes a potiahnete ho do budúcnosti. Má však rôzne komplikácie, napríklad do budúcnosti so sebou ťaháte aj rôzne nepresnosti.

Druhá možnosť je mať presný model situácie a pomocou neho presne spočítať, čo sa bude diať. Takéto niečo je bežné vo fyzike, kde máme ten luxus, že si skúmaný systém vieme rozbiť na jednotlivé časti a izolovať jednotlivé vplyvy. Človek však nie je elektrón a nedokážeme ho vytrhnúť zo spoločnosti tak jednoducho, ako dokážeme časticu oddeliť od vplyvov okolia.

Dobré predpovede tak vznikajú niekde v strede tohto spektra. Nie je to ani priamočiara extrapolácia dát, no nie je to ani dokonale rigorózna matematika. Príkladom je Leeho-Carterov model, ktorý slúži na predvídanie vývoja úmrtnosti. Autori Lee a Carter poukazujú na znižujúcu sa úmrtnosť populácie a nutnosť predpovedania dlhovekosti do budúcnosti.

V tomto modeli sa údaje najprv usporiadajú do tvaru matice, ktorej prvky udávajú informáciu o tom, že s akou pravdepodobnosťou nejaká veková skupina prežije daný rok. Napríklad, v roku 2022 má desaťročný človek väčšiu pravdepodobnosť dožiť sa roku 2023, než ju má sedemdesiatnik. Zároveň má dnes typický sedemdesiatnik väčšiu pravdepodobnosť dožiť sa ďalšieho roku, než ju mal typický sedemdesiatnik v roku 1972.

Táto matica teda nesie všetky dôležité informácie, zároveň však obsahuje veľmi veľa parametrov, keďže udáva informácie pre rôzne vekové skupiny a rôzne roky. No a tu prichádza na rad kľúčová vec – tipnúť si tvar správneho riešenia.

Ehm, čo prosím? Vo vede ide o bežnú vec! Máme zložitý systém, ktorého správanie chcete predpovedať či zložitú rovnicu, ktorú chcete riešiť. Ak napríklad viem, že skúmam systém, ktorý osciluje, tak ako riešenie navrhnem oscilujúcu funkciu a rovnice použijem na spresnenie svojho tipu. Rovnako pri úmrtnosti očakávali Lee a Carter exponenciálnu závislosť a s trochou umu navrhli takéto riešenie svojho modelu.

Z danej matice sa odhadne model s relatívne malým počtom parametrov, s ktorými sa dá veľmi dobre pracovať – napríklad ich extrapolovať do budúcnosti a tým získať obraz o budúcej úmrtnosti ľudskej populácie.

Je tento model ideálny? Ako do výsledkov zahrnúť neočakávané javy, ako napríklad pandémia, ktoré významne ovplyvňujú úmrtnosť ale nevieme predpovedať ich výskyt? Nedala by nám modifikácia modelu presnejšie predpovede o tom, koľko sa budú dožívať ľudia a tým pádom lepšie nastaviť dôchodkový systém?

Toto sú otázky, na ktorých sa dá neustále pracovať a v ktorých sa môžeme zlepšovať. Podarí sa nám to? To ťažko predvídať. No už dnes vďaka takýmto modelom dokážeme v niektorých ohľadoch veľmi presne predpovedať budúcnosť.

[Patrícia] a [Samuel]

Lee Carter model je jeden z najpoužívanejších modelov na prognozóvanie úmrtnosti v akuárskej praxi. Viac sa o možnostiach štúdia v takýchto odboroch dozviete na stránke https://aktuarstvo.sk/

Autorka Patrícia Teplanová pôsobí ako doktorandka na Katedre matematiky a aktuárstva Fakulty hospodárskej informatiky na Ekonomickej univerzite v Bratislave.

Pridaj komentár