17. júna 2021
Buffonova ihla

Zápalky a číslo π

Číslo π nás fascinuje. Je spojené s nekonečnom rôznych zaujímavostí. Nedávno bol deň π (3/14 v americkom zápise) a po internetoch chodila jedna zaujímavosť. Ak hodnotu π náhodou zabudnete, dá sa približne zistiť jednoduchým pokusom. Áno, je aj milión iných, prevažne jednoduchších spôsobov. No aj tak, o čo ide?

Zoberte si zápalku a nakreslite na papier linajky tak, aby boli vzdialené práve na dĺžku zápalky. Máte pripravené? Druhý krok je opakovane, čo najnáhodnejším spôsobom hádzať zápalku na papier. Vždy, keď dopadne tak, že bude prelínať nakreslenú linku, spravte si čiarku. Keď pokus zopakujete dosť veľa krát, spočítajte si počet úspešných pokusov (došlo k pretnutiu) k celkovému počtu hodov zápalky. Pomer týchto dvoch hodnôt bude blízko k hodnote 2/π. Alebo inými slovami, hodnota π sa dá približne určiť ako π ≈ 2/(pomer úspešných pokusov).

Ako je to možné? Číslo π si bežne spájame s kružnicami, niekedy sa však objaví v obskúrnejších prípadoch, napríklad Leibnizov vzorec udáva jeho hodnotu ako π = 4 × ( 1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + … ). Čo má však π spoločné so zápalkou a linajkovým papierom?

Pozrime sa, ako by sme počítali pravdepodobnosť, že zápalka bude prekrývať linajku. Všímajme si najprv, kam dopadne hlavička zápalky – hádzanie je náhodné a tak hlavička môže dopadnúť hocikam na papier s rovnakou pravdepodobnosťou. Smer, ktorým je zápalka natočená je tiež náhodný. S akou pravdepodobnosťou ide zápalka cez čiaru? Zistíme to tak, že hlavičku prichytíme a zápalku otočíme o 360˚. Jej druhý koniec opíše kružnicu, ktorá pretína linajky. Pomer dĺžok úsekov kružnice udáva pomer pravdepodobností, či zápalka pretína alebo nepretína linajku.

Stratili ste sa? Nevadí! Aj tak sme nešli do detailov, tie obsahujú ešte o kúsok zložitejšiu matematiku. No snáď je aspoň jasné, ako sa π prepašovalo do výsledku, aj keď sa v zadaní objavovali len rovné čiary. Mimochodom, tento príklad je veľmi slávny, ide asi o prvú známu kombináciu geometrie a pravdepobnosti. Volá sa Buffonova ihla, názov nesie po francouzskom matematikovi Georgesovi Louis Leclerc de Buffonovi, ktorý ju vymyslel v roku 1777; vyriešená bola síce dávno, no nás nás teší dodnes.

[Samuel]

PS: Ak to chce niekto počítať, mám pocit, že ľahšie je uvažovať nie koniec zápalky, ale jej stred a otáčanie okolo neho.

Pridaj komentár