Prvočísla, časť piata: Goldbach a jeho kométa

(Predošlý diel série o prvočíslach)

Pred niekoľkými storočiami bolo hlavným lákadlom dobrodruhov objavovanie nových krajín. Podnikali odvážne výpravy a mnohí z nich sa často nevrátili. Lákala ich typicky nielen túžba presláviť sa, ale aj túžba vidieť (a niekedy aj pochopiť) svet okolo nás. Podobným magnetom bolo, a stále je, „dobývanie“ toho, čo predtým nikto nedobyl – vyštverať sa na najvyšší bod na planéte [2] alebo sa potopiť na najhlbšie dno oceánu.

Ako však čas pomaly plynul, postupne boli všetky kúty sveta (do veľkej miery) objavené a všetky najvyššie vrchy zdolané. Trochu to môže zaváňať tým, že odvážni dobrodruhovia dnes nemajú čo robiť. Nemôže to však byť ďalej od pravdy – časť moderných dobrodruhov sa dodnes venuje objavovaniu neobjaveného a zdolávaniu nezdolaného. Akurát sa dnes neplavia na lodiach a nejazdia na ťavách, ale plavia sa na atramente (obrazne) a jazdia na bicykli (poprípade sem doplňte svoj obľúbený dopravný prostriedok). Mám samozrejme na mysli vedcov, ktorí svojou prácou vrhajú svetlo na nové a nové detaily vesmíru, v ktorom žijeme, a ktorých objavy nám zas pomáhajú toto žitie zjednodušovať.

Christian Goldbach

Aby som sa ale dostal k veci: (zatiaľ) nezdolané vrchy zodpovedajú vo vede otvoreným problémom. Krásnym príkladom je napríklad taká Goldbachova domnienka. Ide o jednoduché pozorovanie, ktoré matematik Christian Goldbach vykonal v roku 1742.

Ten si všimol, že každé párne číslo (okrem dvojky), ktoré vyskúšal, sa dalo napísať ako súčet nejakých dvoch prvočísel. Nech sa však snažil ako chcel, nevedel nájsť argument, ktorý by jednoznačne ukazoval, že to tak musí byť pre všetky párne čísla.

Nuž, a tak je to dodnes. Tento Goldbachov problém predstavuje jeden z najstarších otvorených problémov súčasnosti. Zatiaľ čo Mont Blanc, Kilimandžáro či Everest dávno padli (obrazne), Goldbachova domnienka stále odoláva. Nie že by sme sa nesnažili – počas vekov, ktoré nás od Goldbacha delia, sa mnohí matematici snažili nejaký úspešný argument nájsť a domnienku dokázať, každý z nich si však vylámal zuby (opäť obrazne) [3]. Môžete si to skúsiť aj sami.

Pre ilustráciu si skúsme rozložiť prvých niekoľko párnych čísel:
4 = 2+2
6 = 3+3
8 = 3+5
10 = 3+7 = 5+5
12 = 5+7
14 = 3+11 = 7+7

Vidíme, že väčšie čísla (ako napríklad 10 a 14) sa dajú na prvočísla rozložiť až dvoma, alebo ešte viac spôsobmi. Je zaujímavé si toto pozorovanie zakresliť do grafu. Konkrétne, pre dané párne číslo si vyznačíme, koľkými rôznymi spôsobmi sa dá napísať ako súčet dvoch prvočísel. Dostaneme tak krásny obrázok, takzvanú Goldbachovu kométu [4].

Otázka pre nadšencov: Aká vlastnosť tejto kométy by zodpovedala Goldbachovej domnienke?

[Fridrich]

PS: Nabudúce si povieme dačo o „slabšom“ bratrancovi Goldbachovej domnienky, ktorého sa nedávno podarilo úspešne dokázať. Aby to nevyzeralo tak, že v matematike je každý problém otvorený večne 

[2] Mimochodom, viete, ktorý je najvyšší vrch na Zemi, v zmysle vzdialenosti od stredu planéty? (Nie je to Mt. Everest.)
[3] Goldbachova domnienka sa napríklad objavila aj v známom seriáli Futurama.
[4] https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5a/Goldbach-10000.svg/1280px-Goldbach-10000.svg.png