Prvočísla a geometria

O (menej známej) Fermatovej hypotéze a mnohouholníkoch

Možno ste už počuli o Gaussovi [1] , jednom z najvýznamnejších matematikov všetkých čias. Gauss sa pričinil o rozvoj obrovského množstva vedných disciplín, a to nielen v matematike a fyzike. Viacerí ho môžu poznať ako protagonistu známeho príbehu o tom, ako učiteľ dal žiakom spočítať súčet všetkých čísel od 1 do 100, úlohu, ktorá bola následne takmer okamžite vyriešená jedným zo žiakov (áno, Gaussom [2]).

Keď Gauss trochu podrástol, rozhodoval sa medzi štúdiom matematiky a jazykovedy. Za to, že sa nakoniec (našťastie) priklonil k matematike, môže z veľkej miery jeho objav nádherného súvisu prvočísel a tzv. zostrojiteľných pravidelných mnohouholníkov.

Pravidelný mnohouholník je taký geometrický obrazec v rovine, ktorého všetky strany sú rovnako dlhé a zvierajú rovnako veľké uhly. Typickým príkladom je napríklad štvorec alebo rovnostranný trojuholník, prípadne päť- či šesťuholník. Tieto si možno pamätáte zo školy a možno niektoré z nich viete aj zostrojiť. Pod zostrojením sa tu myslí konštrukcia za použitia len pravítka a kružidla, t.j. bez použitia iných nástrojov, ako napríklad uhlomeru [3]. Asi nikto z nás však nikdy nevidel nikoho zostrojiť týmto spôsobom pravidelný sedem alebo deväťuholník. Dôvod je jednoduchý: nedá sa to. Nuž a presne týmto sa zaoberal Gauss. Konkrétne ukázal, že existuje súvis medzi zostrojiteľnými mnohouholníkmi a tzv. Fermatovými prvočíslami.

Čo sú Fermatove prvočísla? Sú to prvočísla, ktoré sú tvaru 2^(2^n)+1 pre nejaké n. (Pod znakom ^ tu myslíme umocňovanie.) Voláme ich podľa Fermata, ktorý si všimol, že ak za n dosadíme postupne čísla
0, 1, 2, 3, 4,
tak dostaneme prvočísla. Vskutku, postupne takto prídeme k
3, 5, 17, 257, 65537.
Na základe toho Fermat vyslovil domnienku, že všetky čísla tvaru 2^(2^n)+1 sú prvočísla.

Nanešťastie sa zakrátko potom ukázalo, že ak za n dosadíme číslo 5, nedostaneme prvočíslo. Môže to vyznieť vtipne, ale skúste si tento fakt overiť sami a prídete na to, že to nie je také jednoduché (aspoň na papieri). Čuduj sa svete, ani po vyskúšaní ďalších n-iek (n=6, n=7, atď.) nedostaneme prvočísla. Dokonca ani dnes nepoznáme žiadne ďalšie Fermatove prvočísla okrem 3, 5, 17, 257, 65537, a ani nevieme, či nejaké ďalšie existujú.

Aby sme sa vrátili k nášmu predošlému príbehu, to čo Gauss ukázal, bolo nasledovné: pravidelný mnohouholník s n stranami vieme zostrojiť vtedy a len vtedy ak je n rovné súčinu nejakých rôznych Fermatových prvočísel a ľubovoľnej mocniny dvojky. Preto napríklad vieme zotrojiť pravidelný trojuholník, päťuholník alebo sedemnásťuholník(!), ale nie sedem alebo deväťuholník. Zaujímavé, nemyslíte?

[Frico]

P.S. Pre porovnanie:
– konštrukcia pravidelného 6-uholníka 
– konštrukcia pravidelného 17-uholníka 

Otázky pre čitateľov:
– Koľko rôznych pravidelných mnohouholníkov s nepárnym počtom strán vieme zostrojiť?
– Koľko je 2^(2^5)+1 a prečo to nie je prvočíslo? (varovanie: je dôvod, prečo o tomto fakte ľudia istú dobu nevedeli)

___

Poznámky pod čiarou
[1] Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855)
[2] Gauss čísla nespočítal postupne jedno za druhým, ale inteligentne si ich pospájal do vhodnejších dvojíc: prvé číslo s posledným (1+100=101), druhé s predposledným (2+99=101), atď. Dostal takto 50 dvojíc, pričom súčet každej z nich bol 101, dokopy teda dali 101 x 50 = 5050.
[3] Táto úloha možno znie na prvý pohľad trochu umelo, ale konštrukcie používajúce iba pravítko (bez mierky) a kružidlo sú spojené s prekvapivo hlbokými výsledkami v matematike a boli do hĺbky rozoberané už starými Grékmi. (O tom niekedy nabudúce. Pre záujemcov o túto problematiku môžeme zatiaľ odporučiť hru Euclidea www.euclidea.xyz)

(Predošlý diel o prvočíslach)