Počuli sme tvar Zeme. Sopke vďaka! (Vrelá!)

[Dráma v štyroch častiach]

Časť prvá: Veľký tresk!

Udalosťou posledných dní, ktorá doslova zarezonovala svetom bola erupcia sopky Hunga Tonga(-Hunga Ha’apai) v západnej Polynézii, na opačnej strane sveta. Začala sa 15. januára o cca 05:15 nášho času (UTC+1). Sopka vyvrhla obrovské množstvo prachu do okolia a mrak z nej vystúpal až do mezosféry (cez 50 km!) [1]. Ide o jednu z najväčších erupcií za posledných 30 rokov. Sila výbuchu bola odhadnutá na 500-násobok atómovej bomby zhodenej na Hirošimu [2]. O niektorých jej dôsledkoch už Samuel písal tu [3].

Okrem obrovskej tragédie, ktorú táto udalosť spôsobila, predstavuje aj unikátnu príležitosť pre vedcov študujúcich našu planétu [4]. Z tejto erupcie sa ešte naučíme veľa [5], jednu vec sme sa však dozvedeli hneď, ako sme ju druhýkrát započuli. Áno, erupciu sme počuli, a to barometrami (na niektorých miestach planéty na to stačil aj špeciálny barometer zvaný ucho). Výbuch sopky totiž vyvolal (okrem tsunami) aj silné atmosférické tlakové vlny, ktoré docestovali až do Európy, kde sme ich zachytili aj na Slovensku [6]. A to niekoľkokrát! Šírenie týchto vĺn z diaľky (a v infračervenom svetle) pripomína hodenie kameňa do vody (Obr. 1).

Prvá tlaková vlna k nám dorazila zo severovýchodu o cca 20:15 nášho času, teda zhruba 15 hodín po výbuchu sopky. Dorazila po najkratšej spojnici medzi naším barometrom a sopkou. Keďže je Zem guľatá (?!), táto spojnica leží na tzv. hlavnej kružnici, čo je kružnica na guli, ktorej stred je totožný so stredom tejto gule (Obr. 2). Zhruba 6 hodín po prvej vlne dorazila z opačnej strany druhá po dlhšej časti hlavnej kružnice.

Čo vieme z týchto údajov vyčítať? Keďže prvá vlna prešla kratšiu časť hlavnej kružnice a druhá tú dlhšiu, dokopy teda prešli celú kružnicu. Čo však vieme o tejto kružnici? Že jej stred je totožný so stredom Zeme, a teda má rovnaký polomer, a teda jej dĺžka je 2πR, kde R je polomer Zeme. Stačí nám preto vedieť, akou rýchlosťou sa vlny pohybovali a z časových údajov zistíme, aká veľká je Zem! ?

Časť druhá: Eratosthenes ticho závidí.

Na to, aby sme vedeli odhadnúť rýchlosť týchto tlakových vĺn, sa musíme s nimi trochu oboznámiť. Hoci blízko k erupcii sopky to bola riadna divočina (dominovali nadzvukové, rázové vlny), ďalej od udalosti už bola situácia prehľadnejšia a vlny, ktoré prežili svoj pôrod, boli tzv. Lambove atmosférické vlny [7]. To sú nízkofrekvenčné zvukové vlny, ktoré sa šíria hlavne vo vrstvách troposféry (do niekoľko kilometrov nad povrchom), preto ich vieme zachytiť barometrami aj na povrchu [9].

Tieto vlny sa šíria po celej planéte relatívne stabilne, t.j. držia si tvar a iba pomaly strácajú energiu. Jedna meteorologička silu erupcie opísala ako “dostatočne silnú, aby sa celá atmosféra rozozvučala ako hudobný nástroj tónom Lambovej vlny” [8]. Ich šírenie je pekne simulované na obrázkoch 3 a 4. Rýchlosť týchto vĺn sa uvádza okolo 1116 km/h [9]. Keď si tento údaj námatkovo overíme, napr. na dátach z USA [10], zistíme, že v rámci presnosti merania pekne sedí.

Keď teda sčítame doby trvania od začiatku erupcie po záchyt prvých dvoch vĺn, 15h + 21h = 36h, a vynásobíme tento čas rýchlosťou vĺn, 1116 km/h, dostaneme obvod Zeme v kilometroch, 1116×36 = 40176. Vydelením číslom 2π dostávame polomer Zeme 6394 km. Štandardne sa uvádza polomer ako 6378 km, čo je vzhľadom na všetky uvažované zjednodušenia až pozoruhodne presný výsledok [10.5]. Radostne sa kocháme výsledkom.

Tu nám do nášho výkladu vstupuje plochozemec s námietkou, že názov tohto článku nekorešponduje s tým, čo tu predvádzame. Vskutku, musíme mu dať teraz za pravdu, že náš výpočet iba dodal veľkosť zemegule, ktorej guľatý tvar sme však predpokladali. Aký argument však máme poskytnúť, aby nás plochozemec neobviňoval z podvádzania? Dokážeme skutočne rozlíšiť šírenie vĺn na (zeme)guli a na (zeme)disku (Obr. 5) iba pomocou časov detekcie prvých dvoch vĺn? Asi už tušíte, že odpoveď je áno.

Časť tretia: A predsa je guľatá!

Použijeme ten istý výpočet ako predtým, iba zmeníme miesto detekcie. Slovenské meteostanice totižto v tejto otázke vôbec nie sú privilegované. Vezmime si ľubovoľné miesto na Zemi. Označme čas, ktorý uplynul od výbuchu sopky po tamojšiu detekciu prvej (resp. druhej) vlny T1 (resp. T2). V prípade Slovenska sme mali T1 = 15h a T2 = 21h. Nech c je rýchlosť šírenia vĺn. Potom na zemeguli s polomerom R platí, že
c × (T1 + T2) = 2πR.

Keďže 2πR je konštanta (lebo nezávisí od miesta detekcie) a rýchlosť šírenia vĺn je všade rovnaká tiež, musí platiť, že aj T1 + T2 je konštanta. Inými slovami, súčet dôb, za ktoré sme zachytili prvé dve vlny, je pre každú meteostanicu na Zemi rovnaký! Viac-menej teda, pretože veľa komplikácií zanedbávame [10.5]. Ak teraz porovnáme túto našu predpoveď s údajmi z meteostaníc z rôznych kútov sveta (napr. údaje zo štyroch miest na obrázku 4 alebo [11]), vidíme, že pre každé miesto platí, že T1 + T2 dá niečo okolo 36 hodín.

Pozrime sa teraz na zemedisk. Tam je šírenie druhej vlny o dosť komplikovanejšie (keďže sa musí odraziť od hranice v Antarktíde) a vôbec by neplatilo, že T1 + T2 je všade rovnaké, ani približne. Ľahko si to overíte napr. na mieste, ktoré leží na spojnici medzi sopkou a severným pólom (stred zemedisku). Vyskúšajte si to! Je tam drobná zápletka, skúste si premyslieť, prečo nepredstavuje problém pre náš argument. Erupcia sopky Hunga Tonga teda uštedrila tvrdú ranu aj plochozemcom a okrem rovnomenného ostrova pochovala aj ich ďalší argument.

Časť štvrtá: Počujete tvar bubna?

Ku koncu sa ponorme ešte do jednej úvahy. Zistili sme, že dokážeme “počuť” rozdiel medzi tvarmi zemegule a zemedisku. Dá sa však počuť rozdiel medzi ľubovoľnými dvoma tvarmi? Túto otázku si položil slávny poľsko-americký matematik Mark Kac (čítaj kac) [12]. V článku z roku 1966 s názvom “Dá sa počuť tvar bubna?” rigorózne skúmal vzťah medzi tvarom bubnovej blany a tónmi, ktoré vyludzuje [13].

Každý hudobný nástroj totiž okrem základnej frekvencie vyludzuje aj vyššie harmonické frekvencie, ktoré sú celočíselnými násobkami základnej [14]. Ľubovoľný tón nástroja potom získame kombináciou základnej frekvencie a vyšších harmonických. Preto sa týmto frekvenciám zvykne hovoriť aj (zvukové) spektrum. Kaca teda zaujímalo či rôzne tvary blán môžu mať rovnaké spektrum. Otázka sa ukázala byť prekvapivo ťažká a podarilo sa ju rozlúsknuť až v roku 1992 [15]. Odpoveď je asi neprekvapujúca: nie vždy sa dá počuť rozdiel medzi rôznymi tvarmi blany. Inými slovami, existujú rôzne tvary s rovnakými spektrami.

Na druhej strane mnoho tvarov sa takto rozlíšiť dá. Ako sme si ukázali, zemeguľu a zemedisk počúvaním odlíšiť vieme. A to sme ani nemuseli počítať spektrum pre tieto tvary. Ako by sa vlastne také spektrum počítalo? Pozor, ťažká matika! Hľadajú sa riešenia istej rovnice prislúchajúcej k určitému diferenciálnemu operátoru. Pre šírenie vĺn a zvuk sa zvyčajne používa diferenciálny operátor menom Laplacián (čítaj laplasiján) [16]. Spektrom tohto operátora potom nazývame všetky také čísla, pre ktoré má táto pridružená rovnica riešenie [17].

Štúdium spektier a spektrálnych vlastností diferenciálnych operátorov je veľmi bohatou oblasťou matematiky. Má aj výsadné postavenie vo fyzike, pretože tá “kvantovosť” kvantovej fyziky má pôvod presne v kvantovanosti (oddelenosti, nespojitosti) spektier určitých operátorov. Napríklad tzv. Hamiltonián (nesúvisí s tým pretekárom) opisuje energetické spektrum kvantovo-mechanických systémov. Príklad z bežného života – atóm vodíka [18]. Ponaučenie zo štúdia Kacovej otázky však je, že spektrum operátora nesie dôležité informácie aj o geometrii priestoru, na ktorom tento operátor žije a kraľuje. Riešenie tejto otázky zasa ukazuje, že nie vždy nesie úplnú informáciu o tomto priestore.

Nesie však dosť informácie na to, aby sa vzťahu medzi spektrami diferenciálnych operátorov a geometrickými vlastnosťami priestorov venovala celá oblasť matematiky zvaná spektrálna geometria [19]. V posledných rokoch sa takýto duálny opis priestorov [20] stáva čoraz viac populárnym aj ako prístup ku kvantovaniu časopriestoru a gravitácie. Aj na bratislavskom matfyze máme ľudí, ktorí sa podobným veciam venujú [21]. Prepojiť výbuch sopky s kvantovou gravitáciou? Misia splnená.

Epilóg

Čože? Vy ešte čítate? Klobúk dole. A za odmenu takáto mňamka. Aj 7 dní po erupcii naša domovská planéta stále znela tónom Lambovej vlny [22]. Vraj sa chystá petícia za zmenu názvu zo Zem na Zniem?

[Jedna Slučka]

—

Zdroje a poznámky
[1] https://en.wikipedia.org/wiki/2022_Hunga_Tonga_eruption_and_tsunami
[2] https://www.npr.org/2022/01/18/1073800454/nasa-scientists-estimate-tonga-blast-at-10-megatons
https://www.smithsonianmag.com/smart-news/nasa-says-tonga-eruption-was-more-powerful-than-an-atomic-bomb-180979454/
[3] https://www.facebook.com/vedator.svk/posts/1336686223444754
[4] https://www.nature.com/articles/d41586-022-00127-1
[5] https://www.nature.com/articles/d41586-022-00137-z
[6] https://www.facebook.com/shmu.sk/posts/6918989418174572
[7] https://eos.org/articles/the-surprising-reach-of-tongas-giant-atmospheric-waves
[8] https://twitter.com/AGU_Eos/status/1484654459691151371
[9] https://academic.oup.com/gji/article/196/1/312/594635
[10] https://twitter.com/NWSMilwaukee/status/1482440064223301639
[10.5] Náš výpočet predpokladá dokonale guľatú Zem (platí iba približne), konštantnú rýchlosť šírenia vĺn (zanedbávame závislosť od teploty a ďalších veličín), časy uvádzame zaokrúhlené na hodiny, atď. Žiadna zo zanedbaných nepresností však nepredstavuje veľkú korekciu k výsledku a náš zjednodušený model poskytuje dobrý odhad veľkosti Zeme. Pre model šírenia, ktorý uvažuje aspoň nejakú teplotnú variabilitu kuk obrázok 4.
[11] https://twitter.com/ChennaiRains/status/1482679182543192065
[12] https://en.wikipedia.org/wiki/Mark_Kac Nepliesť si s ďalším slávnym matematikom s priezviskom Kac. Prvým menom Viktor, pochádza z Ruska a spoluobjavil Kac-Moodyho algebry (o nich možno niekedy nabudúce).
[13] https://www.math.ucdavis.edu/~hunter/m207b/kac.pdf
[14] Toto platí najmä pre strunové nástroje. Pri bicích je situácia komplikovanejšia, lebo vibruje dvojrozmerná membrána a tam už vyššie frekvencie nie sú celočíselným násobkom základnej. Stále však platí, že sa dajú očíslovať celými číslami. Odporúčam pozrieť obrázky napr. tu https://en.wikipedia.org/wiki/Vibrations_of_a_circular_membrane
[15] https://en.wikipedia.org/wiki/Hearing_the_shape_of_a_drum#The_answer
[16] Pomenovaný podľa geniálneho matematika a fyzika 18. a 19. storočia, francúzskeho Newtona, menom Pierre-Simon Laplace, ktorý mimochodom ako prvý teoreticky skúmal aj atmosférické vlny, o ktorých sa tu bavíme. https://theconversation.com/tonga-eruption-was-so-intense-it-caused-the-atmosphere-to-ring-like-a-bell-175311
[17] Technická poznámka pre odvážnych: ide o hľadanie vlastných hodnôt operátora D, čo sú všetky také čísla λ, pre ktoré existuje aspoň jedna funkcia u taká, že platí: D(u)=λu. Inými slovami, po zapôsobení operátora D na funkciu u je výsledkom len λ-násobok u. Vlastné hodnoty tvoria spektrum operátora D a funkcie u sa nazývajú vlastné funkcie. Kľúčovú úlohu pri riešení tejto rovnice a určovaní spektra zohrávajú aj okrajové podmienky pre funkciu u. Napr. pre blanu bubna funkcia u opisuje, o koľko je blana v každom mieste a čase vychýlená z rovnovážnej polohy. Na okrajoch je však blana po celý čas pevne uchytená, a teda tam táto funkcia trvale nadobúda nulovú hodnotu.
[18] https://en.wikipedia.org/wiki/Hydrogen_atom#Theoretical_analysis
[19] https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_geometry
[20] https://en.wikipedia.org/wiki/Spectral_triple
[21] http://davinci.fmph.uniba.sk/~tekel1/funphys/
[22] https://twitter.com/diegoaliaga2/status/1485469621327069185
Titulný obrázok: https://www.bbc.co.uk/news/world-australia-60027360

Súvisiace články: https://vedator.space/gibbsov-jav-a-kompresia-obrazk/