O poézii a rovniciach

Mnohí si možno zrejme pamätáte na dobu, keď ste sa v škole učili o kvadratických rovniciach. Cieľom bolo napríklad nájsť číslo x ktoré spĺňa rovnicu x² + 3 x – 6 = 0. Riešenie takýchto problémov je pomerne jednoduché a poznali ho už v Mezopotámii pred 4000 rokmi. [1] Čo ste sa už ale v škole nenaučili, je ako riešiť rovnice kubické, čiže veci typu x³ – x² + 3 x – 7 = 0. Dôvod na to je jednoduchý – sú o poznanie zložitejšie.

Napriek tomu, že riešenia kubických rovníc poznáme už zopár storočí, ich príbeh je prekvapivo zapeklitý a miestami pripomína dobrodružný román. Prejdime priamo k tej najzaujímavejšej časti, preskočiac mnohé zaujímavé míľniky z Babylónie, Egypta, Grécka, Číny, Indie a Arábie. Presuňme sa rovno do Bologne 16. storočia.

V tomto čase objavuje matematik Scipione del Ferro metódu na riešenie kubických rovníc. Rozhodne sa ju však utajiť a zmieni sa o nej iba svojím najbližším príbuzným a priateľom. [2] Až na smrteľnej posteli odovzdáva toto tajomstvo svojmu študentovi Antoniovi Fiorovi.

Fior sa v nasledujúcich rokoch očividne bojí vyzvania na matematický duel (pozri predošlý odkaz) a tak sa rozhodne preventívne „zaútočiť“ prvý a vyzýva na duel matematika menom Niccolò Tartaglia, pôvodom z mesta Brescia, ktorý tvrdil, že niektoré kubické rovnice dokáže vyriešiť. Títo dvaja duelisti si navzájom zadajú zoznam problémov a na ich riešenie dostanú 30 dní. Víťazom sa prekvapivo stáva Tartaglia, ktorý počas duelu prichádza na to, ako kubické rovnice vyriešiť. Dokonca to robí efektívnejšie ako Fior, ktorý zdedil od svojho učiteľa iba neúplný návod.

Do hry vstupuje nová postava – Taliansky polyhistor Gerolamo Cardano z Pavie. Ten sa snaží Tartagliu presvedčiť, aby mu prezradil postup, ako dané kubické rovnice vyriešil. Nakoniec Tartaglia privolí, avšak pod podmienkou, že Cardano jeho výsledky nezverejní, resp. ak by sa to chystal urobiť, dá najprv Tartagliovi dostatočný náskok, aby mohol svoju metódu publikovať. Následne Cardanovi zašle svoje riešenie vo forme básne. [3]

When the cube with the cose beside it 
Equates itself to some other whole number,
Find two others, of which it is the difference. 
(Úryvok z básne, celú nájdete tu.)

Cardano sa však medzičasom dozvie o riešení od del Ferra a spolu so svojím študentom Ludovicom Ferrarim navštevuje Bolognu, kde sa im podarí nahliadnuť do denníka, ktorý si del Ferro písal a kde si poznačil svoje riešenie. Cardano potom využíva existenciu del Ferrovej práce (ktorá predchádza Tartagliovu) a vo svojej knihe publikuje riešenie kubických rovníc aj napriek nespokojnému Tartagliovi.

Rozhnevaný Tartaglia preto vyzýva Cardana na súboj, ktorý však Cardano zamieta. Nakoniec sa súboja namiesto Cardana zúčastňuje jeho študent Ferrari a prekvapivo Tartagliu poráža. Tartaglia je touto porážkou dosť zdrvený, okrem iného aj finančne.

Každopádne, po týchto udalostiach už ľudstvo dokáže kubické rovnice vyriešiť za pomoci všeobecnej formulky. Navyše, zakrátko sa podarí zdolať ďalší míľnik – Ferrarimu sa podarí vyriešiť kvartické rovnice, čiže také typu x⁴ + 2 x³ – 2 x² + 7 x – 9 = 0. A čo ďalej? Čo s rovnicami obsahujúcimi piate a vyššie mocniny? Niekoľko storočí sa matematici neúspešne snažia, ale márne. Nakoniec sa im podarí ukázať nádherný výsledok – nijaká jednoduchá formulka pre tieto vyššie rovnice neexistuje! Pri dôkaze tohoto tvrdenia vzniká tzv. teória grúp, ktorá je neodmysliteľnou súčasťou modernej matematiky.

Na záver si dovoľme ešte jednu poznámku. Vo formulkách pre riešenia kubických rovníc sa totiž vyskytlo dačo veľmi neočakávané. Často tam totiž v procese výpočtu treba odmocniť záporné čísla, napriek tomu, že celkový výsledok vyjde reálny! Takto sa v matematike prišlo k obrovskému objavu — komplexným číslam (a ich užitočnosti)! (O tom nabudúce.)

[Frico]

Poznámka: Uvedená story je pomerne komplikovaná. Snažil som sa skombinovať viacero zdrojov za účelom vytvorenia nejakého konzistentného celku, takže je možné, že som napriek svojej snahe niektoré historické fakty doplietol 🙂

[1] Kvadratické rovnice sú prítomné všelikde – od zlatého rezu až po výpočet toho, koľko bude trvať, kým vami hodená minca dopadne na dno studne.

[2] Dôvod tohoto z dnešného pohľadu veľmi prekvapivého konania bola pravdepodobne súdobá tradícia vyzývania matematikov inými matematikmi na akýsi druh matematických duelov. Porazení často prišli o svoje univerzitné kreslo alebo financovanie. Je možné, že del Ferro sa chystal tento svoj objav použiť v prípade, ak by bol na takýto duel niekedy vyzvaný.

[3] Pre zaujímavosť: táto báseň je dosť prepracovaná a používa rým zvaný terza rima, ktorý využíva aj Dante vo svojom Pekle.

Zdroj: wiki (Cubic equation, Scipione del Ferro, Niccolò Fontana Tartaglia, Gerolano Cardano), encyclopedia.com (Antonio Fior).