Prvočísla, časť ôsma: O tom, ako sa Euklides stretol s Eulerom, alebo Mersenn a najväčšie známe prvočíslo

Matematici si už v dávnych dobách všimli, že niektoré čísla [1] sú „zaujímavejšie“ ako iné. Vezmime si napríklad také prvočísla (čísla deliteľné len samy sebou alebo jednotkou) – tieto tvoria akési atómy, z ktorých možno poskladať všetky ostatné čísla prostredníctvom násobenia. Ľudí ale zaujímali aj iné typy čísel, napríklad „štvorce“ (čísla zapísateľné ako n × n, napríklad 9 = 3 × 3) a „kocky“ (uhádnete definíciu?). Spájajú sa s nimi veľké mená, ako napríklad Pytagoras alebo Fermat. Dnes si povieme niečo o takzvaných „dokonalých číslach“, ktoré zaviedol do matematiky Euklides [2].

O čo sa jedná? Vezmime si nejaké číslo n a napíšme si všetky čísla, ktoré ho delia. Určite v tom zozname budeme mať jednotku a číslo n samotné, a zvyčajne tam budú aj nejaké ďalšie čísla (ibaže by n bolo prvočíslo). Následne si z nášho zoznamu vyškrtneme číslo n a zvyšné čísla sčítame. Ak je výsledok rovný práve nášmu číslu n, tak n nazveme číslom dokonalým. Znie to zložito? Hneď sa pozrieme na niekoľko príkladov.

Najmenším dokonalým číslom je 6, pretože delitele šestky sú 1, 2, 3, 6 a zároveň 1 + 2 + 3 = 6. Druhým v poradí je 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. Potom to už dosť rastie, ďalšie v poradí sú 496, 8128, 33 550 336, atď. Dodnes nevieme, či je týchto čísel nekonečne veľa a taktiež nepoznáme žiadne nepárne dokonalé číslo. Čo však poznáme (a čo je dôvodom, že dnes dokonalé čísla spomíname), je ich súvis s tzv. Mersennovými prvočíslami, ktorý si všimol už Euklides.

Mersennove prvočísla sú špeciálne prvočísla, ktoré sú okrem iného mimoriadne zaujímavé pre „lovcov“ prvočísel. Dôvodom je napríklad to, že najväčšie prvočíslo, ktoré dnes poznáme, 2^82 589 933-1, je Mersennovo [3] (pod symbolom ^ rozumieme umocňovanie, čiže „dva na osemdesiatdva miliónov atď.“) Definícia Mersennovho prvočísla je jednoduchá: je to také prvočíslo, ktoré možno napísať v tvare (2^n)-1. Napríklad pre n=2 dostávame 2^2-1=2 × 2-1=3, čiže trojka je Mersennove prvočíslo. Podobne dostaneme číslo 7 (lebo 2^3-1=2 × 2 × 2-1=7) alebo 31 (2^5-1=31).

Vrátiac sa k predchádajúcej rozprave, Euklides si [4] všimol, že pre každé Mersennovo prvočíslo p platí, že p × (p+1)/2 je dokonalé číslo. O dvetisíc rokov neskôr sa Eulerovi [5] podarilo dokázať súvis aj v opačnom smere – každé párne dokonalé číslo je tvaru p × (p+1)/2 pre nejaké Mersennove prvočíslo p. Tento výsledok ich spoločnej snahy dnes voláme Euklidova-Eulerova veta.

Dve (dnes trošku ťažšie) úlohy pre tých z vás, ktorí sa radi hrajú s číslami:
1. Skúste dokázať Eulerovo tvrdenie (že ak p je Mersennovo prvočíslo, tak p × (p+1)/2 je dokonalé číslo).
2. Skúste ukázať, že pre každé Mersennovo prvočíslo (2^n)-1 musí nutne platiť, že n je tiež prvočíslo.

[Frico]

PS: Titulný obrázok obsahuje najväčšie známe prvočíslo. Vpredu je šikovný zápis, vzadu je, biele na čiernom, vypísané, teda asi prvých 50 000 cifier!
PS2: Najväčšie známe prvočíslo si ako textový dokument môžete stiahnuť tu: https://tinyurl.com/Prvocislo . Neodporúčame ho tlačiť!

[1] Pod číslami tu dnes budeme rozumieť tzv. prirodzené čísla, t.j. 1, 2, 3, 4, atď.
[2] Euklides ich volal τέλειος ἀριθμός.
[3] Toto prvočíslo bolo nájdené minulý rok a má takmer 25 miliónov cifier. Skôr ako sa do mňa niekto v komentároch pustí :D, zdôrazňujem, že hľadanie takýchto obrovských prvočísel je (pokiaľ viem) čisto voľnočasová zábava a (pokiaľ viem) neprináša žiaden výrazný praktický úžitok pre naše porozumenie matematike a svetu. Uvádzam to tu preto len ako zaujímavosť.
[4] pred skoro 2500 rokmi! (samozrejme Mersennove prvočísla sa tak vtedy ešte nevolali)
[5] Leonhard Euler (1707-1783) je univerzálne považovaný za jedného z najvýznamnejších matematikov všetkých čias. Významne sa pričinil o rozvoj veľkého počtu matematických disciplín.

(Predošlý diel série o prvočíslach)