Prvočísla, časť siedma: Harald Helfgott a slabá Goldbachova domnienka

(Predošlý diel série o prvočíslach)

Nedávno sme hovorili o Goldbachovej domnienke – probléme týkajúcom sa prvočísel, ktorý je už niekoľko storočí otvorený. Existuje však aj jeho „odľahčená“ verzia, ktorú nazývame slabá Goldbachova domnienka, ktorú sa podarilo v roku 2013 dokázať. Je to pekný príklad na ilustráciu toho, že v matematike sú niektoré problémy silnejšie/slabšie ako iné. Celé to vyzerá nasledovne.

Pripomeňme: Goldbachova domnienka vraví, že každé párne číslo väčšie ako 2 sa dá napísať ako súčet dvoch prvočísel.

Slabá Goldbachova domnienka tvrdí, že každé nepárne číslo väčšie ako 5 sa dá napísať ako súčet troch prvočísel.

Ak máme silnú, slabú netreba

Prívlastok „slabá“ si toto tvrdenie vyslúžilo z dôvodu, že ho možno vnímať ako jednoduchý dôsledok Goldbachovej domnienky. Ináč povedané, akonáhle niekto dokáže (neslabú) Goldbachovu domnienku, automaticky tým dokázal aj jej slabšieho bratranca. Opačne to však, nanešťastie, nefunguje.

Konkrétne, predstavme si, že nám niekto zadá nejaké nepárne číslo. My môžeme od tohoto čísla jednoducho odrátať číslo 3 a dostaneme tak číslo párne. Ak platí Goldbachova domnienka, toto párne číslo sa dá rozpísať ako a + b, kde a, b sú prvočísla.

Pôvodné číslo môžeme napísať ako a+b+3, teda ako súčet 3 prvočísel – a sme hotoví! Nakoľko však nikto zatiaľ nedokázal pôvodnú Goldbachovu domnienku, nemožno tento argument použiť. Ostáva nám teda vyhrnúť si rukávy a pokúsiť sa „slabého Goldbacha“ dokázať priamo. Toto sa ľuďom naozaj podarilo, trvalo to takmer sto rokov a zapojilo sa hneď niekoľko geniálnych matematikov.

Storočný progres a na jeho konci Harald Helfgott

Je celkom zaujímavé pozrieť sa na to, ako sa táto hypotéza postupne zdolávala a aké čiastočné úspechy sa počas posledného storočia dosahovali (tiež to trochu pripomína futbalový zápas):

1923: Britskí matematici Hardy a Littlewood dokazujú, že ak predpokladáme tzv. zovšeobecnenú Riemannovu hypotézu [1], tak každé dostatočne veľké nepárne číslo sa dá rozpísať ako súčet troch prvočísel.

1937: Sovietskemu matematikovi Vinogradovi sa podarí úspešne ukázať, že počnúc nejakým veľkým (avšak neznámym) číslom sa každé nepárne číslo dá rozložiť na súčet 3 prvočísel (už nepotrebuje zovšeobecnenú Riemannovu hypotézu).

1956: Vinogradovov študent Borozdkin ukazuje, že počnúc istým veľmi konkrétnym číslom N už slabá Goldbachova hypotéza platí. Ostáva teda overiť (ručne alebo na počítači) všetky čísla menšie ako N. Toto sa však ukazuje ako pomerne ťažká úloha, keďže N je obrovské (má viac ako 4 milióny cifier).

1995: Francúzsky matematik Ramaré sa vydáva inou cestou a úspešne ukazuje, že každé nepárne číslo sa dá napísať ako súčet najviac 7 prvočísel.

1995: Poľský matematik Kaniecki, predpokladajúc Riemannovu hypotézu, znižuje tento výsledok na 5 prvočísel.

2002: Terence Tao (niektorí o ňom možno už počuli) odstraňuje závislosť predošlého výsledku na Riemannovej hypotéze.

2002: Matematici Liu Ming-Chit a Wang Tian-Ze znižujú číslo N na číslo, ktoré má “len” niečo cez tisíc cifier (stále je to však priveľmi veľa pre počítače).

2013: Peruánsky matematik Harald Helfgott finálne znižuje svojou prácou číslo N dostatočne na to, aby sa slabý Goldbach dal skontrolovať (na počítači) pre všetky čísla menšie než N (čo sa aj stalo), čím dokazuje danú domnienku.

[Frico]

[1] Zovšeobecnená Riemannova hypotéza je, ako názov môže napovedať, zovšeobecnením Riemannovej hypotézy, ktorá je v súčasnosti sama (vo svojej nezovšeobecnenej, čiže jednoduchšej forme) zvyčajne považovaná za najdôležitejší a veľmi ťažký nevyriešený problém matematiky.

zdroj