O záporných a celých číslach

Minule sme v našom matematickom kútiku hovorili o nekonečne. Ako hlavný príklad sme si uviedli prirodzené čísla, čiže čísla 0, 1, 2, 3, 4, … . Či sa nula medzi prirodzené čísla zaraďuje alebo nie je čisto len vecou konvencie, niekedy je to výhodnejšie a niekedy nie.

Dnes by sme mohli pokračovať a povedať si niečo o tzv. celých číslach. Celé čísla zahŕňajú čísla prirodzené, napr. 1, 3, 6, 17, … ako aj všetky čísla k nim opačné, tzv. záporné čísla: -1, -3, -6, -17, … . Dokopy tak dostávame nekonečný zoznam …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … . Všimnime si, že „nula je len jedna“, inak povedané -0 je to isté ako 0.

Ide len o veľmi malé rozšírenie a tak človek môže trochu zapochybovať o tom, či sa tu dá niečo zaujímavé povedať. Skúsený čitateľ už však asi tuší, že tu na nás kdesi číha dajaké prekvapenie. A veru!

To, čo napríklad mňa ohľadom záporných číslach naozaj úprimne šokovalo, bolo zistenie, že v Európe sa udomácnili až prekvapivo neskoro. Zatiaľ čo Číňania so zápornými číslami veselo pracovali už pred cca 2000 rokmi, v takej Británii, kde sa v podstate v osobe Isaaca Newtona zrodila veda, ako ju poznáme dnes, boli ešte v 19. storočí niektorí významní matematici ako napr. De Morgan presvedčení, že ide o neprirodzený nonsens, ktorého sa treba zbaviť.

V tomto bode dávam do povedomia zaujímavý článok od matematika a Fieldsovho medailistu Mumforda, kde sa o tejto veci pekne rozpisuje a z ktorého som čerpal pri písaní tohto textu.

Záporné čísla sú pomerne prirodzený koncept a možno vás neprekvapí, že pravdepodobne vznikli pre potreby úradníkov, predovšetkým pri narábaním s dlhmi.

Napríklad, zo starovekej Číny, z druhého storočia n.l., sa nám zachoval dokument s názvom Ťiou-čang suan-šu, teda Deväť kapitol o matematickom umení. Odtiaľ vieme, že Číňania so zápornými číslami pracovali úplne normálne. Jedna z metód pozostávala z používania červených paličiek na reprezentovanie kladných celých čísel a čiernych paličiek reprezentujúcich záporné celé čísla. Úradníci pri manipuláciami s týmito paličkami používali pravidlá, ktoré pri výpočtoch využívame i dnes. Vedeli napríklad, že odčítanie nejakého počtu čiernych paličiek je to isté ako pridanie rovnakého počtu červených.

Podobne zdatní boli pri manipulácii so zápornými číslami aj starovekí Indovia. Nanešťastie, na rozdiel od nespočetného množstva iných, sa prostredníctvom arabských učencov tieto vedomosti do Európy nepreniesli. Ako je možné, že u nás trvalo zavedenie záporných čísel tak dlho? Mumford špekuluje o dvoch dôvodoch.

Prvým je fakt, že zatiaľ čo v ostatných kultúrach sa matematici zvyčajne sústreďovali na praktické stránky výpočtov, európska matematika stála (z veľkej časti) dobrých dvetisíc rokov na práci starogréckeho matematika Euklida, ktorý uprednostňoval práve opačný prístup – jeho matematika neobsahovala prakticky žiadne „výpočty“, miesto toho pracovala zvyčajne geometricky, stavajúc na postupnom elegantnom dokazovaní tvrdení (štartujúc z tzv. axióm). Fakt, že Euklidova matematika fungovala tak dobre, trochu odrádzal ľudí od toho, aby sa vydávali novými cestami a skúmali napríklad záporné čísla, ktorým sa Euklides nevenoval.

Druhý dôvod je tiež veľmi zaujímavý – predstavme si, že akceptujeme záporné čísla a prehlásime ich za rovnako „reálne“ ako čísla kladné. Potom je celkom prirodzené očakávať, že s nimi môžeme robiť tie isté operácie ako s kladnými číslami. Sčitovanie, odčítavanie, násobenie a delenie funguje pre záporné čísla naozaj bezproblémovo, čo však taká odmocnina? Odmocnina zo 4 je 2. Koľko je však odmocnina z -1?

Ak sú záporné čísla „skutočné“, potom by prirodzene mali byť „skutočné“ aj ich odmocniny. Lenže žiadne také čísla na číselnej osi nenájdeme. Aj toto mohlo prispieť k tomu, že pre niektorých matematikov predchádzajúcich storočí boli záporné čísla nestráviteľné sústo.

[Frico]

Dnešná domáca úloha: je celých čísel rovnako veľa alebo viac ako prirodzených čísel? Prečo?

PS: Množinu prirodzených čísel v matematike značíme (elegantným) zdvojeným písmenom ℕ (pravdepodobne z latinského slova „numerus“, číslo; ak sa mýlim, budem rád ak ma niekto opraví). Pre celé čísla zase používame znak ℤ (z nemeckého „Zahlen“, čísla).

PS2: Umocniť číslo znamená dať ho „na druhú“, teda prenásobiť sebou samým. Napríklad 3 na druhú je 3 × 3 = 9. Odmocniť znamená spraviť túto operáciu naopak, odmocnina z 9 je 3. Keď sa ma niekto pýta, že aká je odmocnina z -1, tak sa pýta, že aké číslo mám vynásobiť samé sebou, aby som dostal -1? Ak nepoznám komplexné čísla, musím zahanbene priznať, že neviem. V ďalších príspevkoch tento nedostatok napravíme.